Relativitetsteori2018

---

Nuvarande version

Ingen absolut rörelse

Förutsatt att Alices mätningar av koordinaten \displaystyle x och tiden \displaystyle t definierar ett inertialsystem kan vi fråga oss om det finns andra möjliga konstruktioner som också gör det. Diskussionen kommer leda oss fram till att alla system som rör sig likformigt relativt Alice också kommer att utgöra inertialsystem och att det inte finns någon egentlig anledning att föredra det ena systemet över det andra när vi beskriver fysikaliska förlopp.

Vi börjar med att konstatera att det i Newtons första rörelselag inte finns något som kräver att vi ska använda Alice som utgångspunkt för vårt inertialsystem. Vi hade precis lika gärna kunnat använda oss av Bob som utgångspunkt och för en given tidpunkt mätt upp positioner i förhållande till honom, vi kallar den resulterande koordinaten för \displaystyle x'. Det blir då genast uppenbart att Bob själv i detta nya system alltid kommer att ha koordinaten \displaystyle x'= 0, precis som Alice tidigare alltid hade koordinaten \displaystyle x = 0 (det får plats noll måttstockar mellan Alice och henne själv!). Här är det viktiga antagandet dock att avståndet mellan Alice och Bob inte kommer att bero på vilket av systemen vi väljer för att beskriva var de befinner sig. I Alices inertialsystem ges avståndet, som allmänt sett beror på tiden, av
\displaystyle \ell(t) = x_{\rm Bob}(t) - x_{\rm Alice}(t) = x_0 + vt,
då \displaystyle x_{\rm Alice} = 0. På samma sätt ges avståndet i Bobs system av<ref>Notera att \displaystyle ' här enbart är en beteckning för att särskilja storheterna i Bobs system och inte betecknar en derivata.</ref>
\displaystyle \ell'(t) = x_{\rm Bob}'(t) - x_{\rm Alice}'(t) = \ell(t) = x_0 + vt
där antagandet är att avståndet inte beror på om vi börjar lägga ut måttstockarna från Bob eller från Alice. Då \displaystyle x_{\rm Bob}'(t) = 0 följer det därför att
\displaystyle x_{\rm Alice}'(t) = -x_0 - vt.
Med andra ord innebär detta att i Bobs system är Alice i likformig rörelse med hastigheten \displaystyle -v förutsatt att Bobs rörelse är likformig i Alices inertialsystem, se figur [fig:alicebobSSprime].

Eftersom Alice var i vila i sitt system vet vi enligt Newtons lagar att ingen resulterande kraft verkar på henne, samtidigt är hon i likformig rörelse i Bobs system. Motsvarande argumentation kan göras för andra objekt i Bobs system som rör sig likformigt i Alices system och detta innebär därför att även Bobs system är ett inertialsystem.

Alice, Bob och vägen
Om Bob i sin bil rör sig med hastigheten \displaystyle v = 30 m/s i östlig riktning relativt Alice som står vid sidan av vägen så kommer Alice att röra sig med hastigheten \displaystyle -v = -30 m/s i östlig riktning relativt Bob, det vill säga Alice rör sig med hastigheten 30 m/s i västlig riktning relativt Bob.

Vi har sett att så länge ett objekt befinner sig i likformig rörelse relativt ett annat så befinner sig det andra objektet i likformig rörelse relativt det första. Eftersom vi alltid kan hitta ett inertialsystem i vilket ett objekt befinner sig i vila så kan vi aldrig objektivt säga att det rör sig utan att specificera vad det rör sig i förhållande till.

Som exempel på det ovanstående kan vi tänka oss att vi är Bob. Så länge vi håller konstant hastighet märker vi ingen skillnad på hur saker och ting beter sig jämfört med om vi, liksom Alice, stod på marken. Vi kan titta ut genom fönstret och se att vi rör oss relativt marken eller öppna fönstret och notera att det blåser, men det finns inget fysikaliskt experiment vi kan utföra inuti bilen som kommer sluta annorlunda än om vi utförde det i vila relativt marken. (Vi bortser här från eventuella skakningar som uppkommer då bilens kontakt med marken är ojämn.) Det är lätt att gå i fällan och använda Alices system som ett definitivt inertialsystem eftersom det mesta som vi har vardaglig kontakt med ofta är i vila relativt marken, men fysikaliskt finns ingen skillnad mellan Alices och Bobs inertialsystem.<ref>Det bör dock nämnas att de hastighetsgränser som sätts upp längs vägarna refererar till markens inertialsystem!</ref>

För att studera hur jorden och de andra planeterna rör sig kring solen är det mer naturligt att använda solens vilosystem i vilket jorden rör sig med ca 30 km/s medan solen är i vila. Jordens vilosystem är då inte längre det bästa för att beskriva rörelsen. Samma argument kan appliceras på stjärnornas rörelse i Vintergatan då ett inertialsystem som utgår från Vintergatans centrum passar bättre. I detta system rör sig hela solsystemet med ca 220 km/s. Det är dock ett dåligt val av inertialsystem för att beskriva situationen med Alice och Bob längs vägen.

Detta för oss till ett grundläggande begrepp inom klassisk mekanik såväl som speciell relativitetsteori, nämligen den speciella relativitetsprincipen[def:speciellarelativitetsprincipen], som kommer att följa med oss genom hela kursen. Denna säger att det inte spelar någon roll vilket inertialsystem vi använder för att beskriva fysikaliska förlopp, de måste beskrivas med samma fysikaliska lagar. En direkt konsekvens är att vi inte kan säga att ett föremål objektivt sett befinner sig i vila. Om ett föremål befinner sig i vila eller inte kommer att bero på vilket inertialsystem vi använder för att beskriva hur föremålet rör sig.

Allmänt bör det nämnas att vi kan införa en mängd olika inertialsystem liksom vi nu infört Alices och Bobs. Det de har gemensamt är att de relativt varandra kan vara förskjutna (olika utgångspunkter), roterade (med flera rumsdimensioner kan vi välja vilka riktningar som vi kallar \displaystyle x, \displaystyle y och \displaystyle z), i likformig rörelse relativt varandra eller en kombination av dessa.