Relativitetsteori2018

Versionen från 26 januari 2018 kl. 08.49

© 2016 KTH Teoretisk fysik

Förord

[ch:forord]

Denna kurs riktar sig till dig som vill veta vad Einsteins relativitetsteori och \displaystyle E=mc^2 handlar om. Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 är en av grundpelarna i modern fysik, som utöver relativitetsteorin även innehåller kvantmekaniken. Vi kommer i denna kurs att kalla fysiken från tiden före relativitetsteorin och speciellt Newtons mekanik för klassisk fysik. Relativitetsteorin har två delar, den speciella och den allmänna. Den speciella relativitetsteorin behandlar endast specialfallet med likformig relativ rörelse, medan accelererande system behandlas i den allmänna teorin. Den allmänna relativitetsteorin som inte ingår i denna kurs formulerades av Einstein 1915 och handlar om gravitationslagen samt ekvivalensen mellan gravitation och acceleration.

Den moderna fysiken innebar en genomgripande omvälvning av naturvetenskapen och har gett oss de grundläggande förutsättningarna för dagens högteknologiska samhälle. Einsteins relativitetsteori innebar en vetenskaplig revolution. Relativitetsteorin länkar samman begreppen tid och rum, materia och energi, elektricitet och magnetism, och dessa länkar är avgörande för vår förståelse för hur universum fungerar. Kursens fokus ligger på relativitetsteorins revision av rum, tid och mekanik. Elektricitet och magnetism förutsätter mer förkunskaper och därför tas endast valda aspekter som handlar om ljusets natur upp i kursen. Relativitetsteorin gör många märkvärdiga förutsägelser som alla har bekräftats experimentellt. Det är också märkvärdigt att trots att relativitetsteorin är så fundamental så går det att förstå många delar utan särskilt avancerad matematik.

Vi har några rekommendationer om inläsningen. Kursen ligger på inledande universitetsnivå och förutsätter inga kunskaper på universitetsnivå i fysik eller matematik. Efter fullgjord kurs ska du kunna redogöra för teorins bakgrund, postulat, huvudresultat, paradoxer, och valda användningsområden. Alla steg förklaras och ska gå att förstå om man kan gymnasiets kurser. Trots att alla härledningar i kursen görs på en elementär nivå så är flera resonemang ordentligt utmanande. Ingen panik: sådana avsnitt har markerats med streck i marginalen och har karaktär av överkurs. Det är inte nödvändigt att förstå alla resonemang i detalj för att tillgodogöra sig huvudidéerna och klara kursen. Utmanande avsnitt kan hoppas över vid en första läsning och man kan behöva återvända flera gånger för att förstå. Man kan med fördel först fokusera på exemplen i texten som visar hur relativitetsteorins resultat kan användas. Vi har i många fall kompletterat texten med videolektioner som utgör en central del av kursen och där huvudidéerna förklaras. Detta material finns på kurshemsidan. Det finns möjlighet att få hjälp och fråga kursens lärare via kurshemsidan. En kort summering av några matematiska formler finns i en bilaga. För den som vill veta mer rekommenderar vi universitetskurser och böckerna i litteraturlistan. Där finns även skildringar av personerna och historien bakom teorin. Vi är tacksamma om du som läsare påpekar alla fel och oklarheter i texten till oss.

Litteraturlista

Mer avancerade framställningar:

Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity, Oxford Science Publications.

John Kogut, Introduction to Relativity: For Physicists and Astronomers, Academic Press.

Historiska och populärvetenskapliga framställningar:

David Bodanis, \displaystyle E=mc^2 Historien om världens mest kända ekvation, Norstedts förlag.

Albert Einstein, Ideas And Opinions, Broadway Books.

Grunder och postulat

Relativitet inom klassisk mekanik

Läromål:

• Känna till de grundantaganden som förekommer inom klassisk mekanik så som absolut rum och absolut tid.
• Vara bekant med begreppet inertialsystem och hur beskrivningen av samma förlopp i olika inertialsystem kan relateras via galileitransformationen.
• Använda rumtidsdiagram för att beskriva och förstå fysikaliska förlopp.

Liksom den klassiska mekaniken som formulerades av Newton är den speciella relativitetsteorin i grund och botten en teori som beskriver hur olika objekt rör sig och växelverkar med varandra samt hur detta kan beskrivas i olika inertialsystem och hur beskrivningarna i de olika inertialsystemen kan relateras till varandra. För att förstå relativitetsteorin är det därför viktigt att först skapa sig en förståelse för hur tid, rum och kinematik[def:kinematik] (läran om rörelse) fungerar inom klassisk mekanik för att sedan återkomma till liknande exempel inom relativitetsteori. Vi kommer då att se att relativitetsteorins grundläggande antaganden innebär att dessa fundamentala begrepp måste omformuleras. Vi inleder därför kursen med att gå igenom ett antal grundläggande fysikaliska begrepp inom klassisk mekanik och utgår från Newtons rörelselagar:[def:newtonslagar]

1. Ett objekt som inte påverkas av en yttre kraft kommer antingen att vara i vila eller i likformig rörelse.
2. Ändringen av ett objekts rörelsemängd per tidsenhet är lika med summan av krafterna som verkar på objektet.
3. Två objekt påverkar alltid varandra med lika stora men motriktade krafter.

Ett inertialsystem[def:inertialsystem] definieras som ett system där dessa lagar gäller. I Newtons första rörelselag har objekt i vila och objekt i likformig rörelse likvärdig status. Detta utgör en grundläggande skillnad jämfört med exempelvis hur de antika grekerna föreställde sig att världen fungerade, då de ansåg att objekt kunde anses vara i absolut vila[def:absolutvila], det vill säga en objektiv mätbar avsaknad av rörelse, om de inte rörde sig relativt jorden. Låt oss börja med att diskutera vad det innebär att ett objekt är i vila eller likformig rörelse och se hur Newtons första rörelselag vänder upp och ned på begreppet absolut vila.

De allra flesta har en intuitiv förståelse för begreppet vila, vilket innebär att ett objekt inte rör på sig. Om vi ska översätta detta till något mer fysikaliskt, något som vi kan mäta, kan vi tänka oss att Alice står vid en busshållplats vid en landsväg och lägger ut ett antal måttstockar längs med vägen för att mäta var i rummet saker och ting befinner sig. På vägen kommer Bob körande i sin bil. Alice kan beskriva var på vägen Bob är genom att ange hur många måttstockar som får plats mellan honom och henne själv, vi kallar detta mätvärde för Bobs koordinat[def:koordinat] \displaystyle x i Alices inertialsystem. Om Bobs \displaystyle x är detsamma oavsett vid vilken tidpunkt vi väljer att göra mätningen säger vi att Bob är i vila relativt[def:relativvila] Alice.

Om ett objekt inte är i vila beror koordinaten \displaystyle x på när den mäts. En likformig rörelse innebär att ett objekt rör sig med en konstant hastighet \displaystyle v. Detta innebär att om Alice mäter upp Bobs position vid en given tidpunkt och får resultatet \displaystyle x_0 och sedan gör ytterligare en mätning en tid \displaystyle t senare så kommer hans nya position att ges av sambandet
\displaystyle x(t) = x_0 + vt.
Den uppmärksamme läsaren noterar säkert att vila bara är ett specialfall av likformig rörelse med hastigheten \displaystyle v = 0 eftersom detta innebär att koordinaten \displaystyle x inte längre beror på tiden \displaystyle t.

Ingen absolut rörelse

Förutsatt att Alices mätningar av koordinaten \displaystyle x och tiden \displaystyle t definierar ett inertialsystem kan vi fråga oss om det finns andra möjliga konstruktioner som också gör det. Diskussionen kommer leda oss fram till att alla system som rör sig likformigt relativt Alice också kommer att utgöra inertialsystem och att det inte finns någon egentlig anledning att föredra det ena systemet över det andra när vi beskriver fysikaliska förlopp.

Vi börjar med att konstatera att det i Newtons första rörelselag inte finns något som kräver att vi ska använda Alice som utgångspunkt för vårt inertialsystem. Vi hade precis lika gärna kunnat använda oss av Bob som utgångspunkt och för en given tidpunkt mätt upp positioner i förhållande till honom, vi kallar den resulterande koordinaten för \displaystyle x'. Det blir då genast uppenbart att Bob själv i detta nya system alltid kommer att ha koordinaten \displaystyle x'= 0, precis som Alice tidigare alltid hade koordinaten \displaystyle x = 0 (det får plats noll måttstockar mellan Alice och henne själv!). Här är det viktiga antagandet dock att avståndet mellan Alice och Bob inte kommer att bero på vilket av systemen vi väljer för att beskriva var de befinner sig. I Alices inertialsystem ges avståndet, som allmänt sett beror på tiden, av
\displaystyle \ell(t) = x_{\rm Bob}(t) - x_{\rm Alice}(t) = x_0 + vt,
då \displaystyle x_{\rm Alice} = 0. På samma sätt ges avståndet i Bobs system av<ref>Notera att \displaystyle ' här enbart är en beteckning för att särskilja storheterna i Bobs system och inte betecknar en derivata.</ref>
\displaystyle \ell'(t) = x_{\rm Bob}'(t) - x_{\rm Alice}'(t) = \ell(t) = x_0 + vt
där antagandet är att avståndet inte beror på om vi börjar lägga ut måttstockarna från Bob eller från Alice. Då \displaystyle x_{\rm Bob}'(t) = 0 följer det därför att
\displaystyle x_{\rm Alice}'(t) = -x_0 - vt.
Med andra ord innebär detta att i Bobs system är Alice i likformig rörelse med hastigheten \displaystyle -v förutsatt att Bobs rörelse är likformig i Alices inertialsystem, se figur [fig:alicebobSSprime].

Eftersom Alice var i vila i sitt system vet vi enligt Newtons lagar att ingen resulterande kraft verkar på henne, samtidigt är hon i likformig rörelse i Bobs system. Motsvarande argumentation kan göras för andra objekt i Bobs system som rör sig likformigt i Alices system och detta innebär därför att även Bobs system är ett inertialsystem.

Alice, Bob och vägen
Om Bob i sin bil rör sig med hastigheten \displaystyle v = 30 m/s i östlig riktning relativt Alice som står vid sidan av vägen så kommer Alice att röra sig med hastigheten \displaystyle -v = -30 m/s i östlig riktning relativt Bob, det vill säga Alice rör sig med hastigheten 30 m/s i västlig riktning relativt Bob.

Vi har sett att så länge ett objekt befinner sig i likformig rörelse relativt ett annat så befinner sig det andra objektet i likformig rörelse relativt det första. Eftersom vi alltid kan hitta ett inertialsystem i vilket ett objekt befinner sig i vila så kan vi aldrig objektivt säga att det rör sig utan att specificera vad det rör sig i förhållande till.

Som exempel på det ovanstående kan vi tänka oss att vi är Bob. Så länge vi håller konstant hastighet märker vi ingen skillnad på hur saker och ting beter sig jämfört med om vi, liksom Alice, stod på marken. Vi kan titta ut genom fönstret och se att vi rör oss relativt marken eller öppna fönstret och notera att det blåser, men det finns inget fysikaliskt experiment vi kan utföra inuti bilen som kommer sluta annorlunda än om vi utförde det i vila relativt marken. (Vi bortser här från eventuella skakningar som uppkommer då bilens kontakt med marken är ojämn.) Det är lätt att gå i fällan och använda Alices system som ett definitivt inertialsystem eftersom det mesta som vi har vardaglig kontakt med ofta är i vila relativt marken, men fysikaliskt finns ingen skillnad mellan Alices och Bobs inertialsystem.<ref>Det bör dock nämnas att de hastighetsgränser som sätts upp längs vägarna refererar till markens inertialsystem!</ref>

För att studera hur jorden och de andra planeterna rör sig kring solen är det mer naturligt att använda solens vilosystem i vilket jorden rör sig med ca 30 km/s medan solen är i vila. Jordens vilosystem är då inte längre det bästa för att beskriva rörelsen. Samma argument kan appliceras på stjärnornas rörelse i Vintergatan då ett inertialsystem som utgår från Vintergatans centrum passar bättre. I detta system rör sig hela solsystemet med ca 220 km/s. Det är dock ett dåligt val av inertialsystem för att beskriva situationen med Alice och Bob längs vägen.

Detta för oss till ett grundläggande begrepp inom klassisk mekanik såväl som speciell relativitetsteori, nämligen den speciella relativitetsprincipen[def:speciellarelativitetsprincipen], som kommer att följa med oss genom hela kursen. Denna säger att det inte spelar någon roll vilket inertialsystem vi använder för att beskriva fysikaliska förlopp, de måste beskrivas med samma fysikaliska lagar. En direkt konsekvens är att vi inte kan säga att ett föremål objektivt sett befinner sig i vila. Om ett föremål befinner sig i vila eller inte kommer att bero på vilket inertialsystem vi använder för att beskriva hur föremålet rör sig.

Allmänt bör det nämnas att vi kan införa en mängd olika inertialsystem liksom vi nu infört Alices och Bobs. Det de har gemensamt är att de relativt varandra kan vara förskjutna (olika utgångspunkter), roterade (med flera rumsdimensioner kan vi välja vilka riktningar som vi kallar \displaystyle x, \displaystyle y och \displaystyle z), i likformig rörelse relativt varandra eller en kombination av dessa.

Galileitransformationen

Vi har hittills enbart studerat hur två objekt rör sig i förhållande till varandras inertialsystem. Det är dock hög tid att vi beskriver även hur allmänna fysikaliska förlopp kan beskrivas i olika inertialsystem och hur dessa förhåller sig till varandra. Inom fysiken talar vi om en händelse[def:handelse] som något vi kan tillskriva en tidpunkt och en position i rummet. För att specificera en händelse måste vi ange var och när den har inträffat och vi gör detta genom att tillskriva den en tidskoordinat \displaystyle t och en rumskoordinat \displaystyle x (vi kan även lägga till flera rumskoordinater som \displaystyle y och \displaystyle z om vi behöver beskriva en händelse i tre rumsdimensioner). Precis som vi redan har diskuterat måste vi här bestämma i vilket inertialsystem vi anger rumskoordinaten \displaystyle x. För att förstå hur beskrivningen av samma förlopp ter sig i olika inertialsystem ställer vi oss frågan hur rumskoordinaterna \displaystyle x och \displaystyle x' förhåller sig till varandra.

Om vi återgår till exemplet med Bob som körde förbi Alice kan en händelse vara att Bob nyser. Denna händelse kan beskrivas med när (tidpunkten för nysningen) och var (platsen där Bob nyste) den skedde. Om vi använder oss av Bobs inertialsystem är det därför naturligt att tilldela händelsen koordinaterna \displaystyle t = t_0 för att beskriva tiden för nysningen och \displaystyle x' = 0 eftersom nysningen skedde i inertialsystemets utgångspunkt. I Alices inertialsystem sker nysningen också vid tiden \displaystyle t = t_0, men var händelsen inträffar kommer att bero på tiden \displaystyle t_0 eftersom Bob befinner sig i rörelse i detta system. Notera att vi antagit att det finns en absolut tid[def:absoluttid] \displaystyle t som är densamma i alla inertialsystem. Detta är ett antagande inom klassisk mekanik och vi kommer i nästa kapitel se hur speciell relativitetsteori kräver att vi reviderar detta antagande.

Vi kan härleda ett allmänt uttryck för hur koordinaterna för en händelse i olika inertialsystem förhåller sig till varandra genom att studera hur avstånden mellan olika objekt beskrivs i de olika systemen. För att göra detta måste vi först välja vilken tidpunkt som motsvarar att tidskoordinaten ges av \displaystyle t = 0. Låt oss ta exemplet med Alice och Bob och välja en tidskoordinat \displaystyle t som är lika med noll i det ögonblick då Bob passerar Alice. Detta innebär att vi kommer att ange tider i termer av hur lång tid efter att de passerat varandra olika händelser inträffar.

I figur [fig:alicebobEvent] visas en händelse \displaystyle E i punkten \displaystyle x_E vid tiden \displaystyle t och Bobs position \displaystyle vt vid samma tidpunkt.

Ur denna figur erhålls sambandet
\displaystyle x'_E + vt = x_E \quad \Longleftrightarrow \quad x'_E = x_E - vt.
Allmänt sett skulle vi även kunnat tänka oss att använda en förskjuten tidskoordinat \displaystyle t' = t + \tau, där \displaystyle \tau är en konstant i Bobs inertialsystem, men konventionen här är att använda samma tidskoordinat i båda systemen och därför sätta \displaystyle t' = t. Detta leder till att tids- och rumskoordinaterna för en given händelse i de olika systemen förhåller sig enligt

align t’ &= t,
x’ &= x - vt.

Om vi vet koordinaterna för en händelse i ett av systemen samt hur fort systemen rör sig i förhållande till varandra kan vi således beräkna koordinaterna för händelsen i det andra systemet. Denna relation mellan koordinaterna i olika inertialsystem kallas för galileitransformationen[def:galileitransformation].

[ex:trafikljusgalilei] Alice, Bob och trafikljuset
Bob passerar Alice med sin bil med den konstanta hastigheten 10 m/s och båda ställer in sina klockor så att de vid denna tidpunkt visar \displaystyle t = t' = 0. Vid koordinaten \displaystyle x = 100 m i Alices vilosystem finns ett trafikljus som slår om till rött fem sekunder senare. Denna händelse har därför koordinaterna
\displaystyle t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x = 100~\mbox{m}
i Alices vilosystem \displaystyle S. För att ta reda på vilka koordinater trafikljusets omslag har i Bobs vilosystem \displaystyle S' kan vi använda oss av galileitransformationen och erhåller då
\displaystyle t' = t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x' = x - vt = (100~\mbox{m} - (10~\mbox{m}/\mbox{s})\cdot(5~\mbox{s})) = 50~\mbox{m}.
Även för Bob inträffar omslaget därför fem sekunder efter att han kört förbi Alice, men det inträffar \displaystyle x'=50 m bort.

Hastighetsaddition

Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten \displaystyle u' i Bobs vilosystem \displaystyle S', se figur [fig:alicebobball].

Detta innebär att bollens rörelse kan beskrivas genom att ange bollens läge \displaystyle x' relativt Bob som funktion av tiden
\displaystyle x'(t) = x_0 + u't.
Med hjälp av galileitransformationen kan vi beräkna hur bollen rör sig i Alices inertialsystem \displaystyle S, det vill säga hur koordinaten \displaystyle x beror på \displaystyle t. Detta ger
\displaystyle x(t) = x'(t) + vt = x_0 + u't + vt = x_0 + (u'+v)t.
Detta är precis den ekvation som beskriver ett objekt som rör sig likformigt med hastigheten \displaystyle u = u'+v i Alices inertialsystem. Vi får därför sambandet
\displaystyle u = u'+v
som relaterar hastigheten \displaystyle u av ett objekt i Alices inertialsystem med objektets hastighet \displaystyle u' i Bobs inertialsystem. Resultatet stämmer även mycket väl överens med vår intuition om hur hastigheter fungerar. Sambandet mellan hastigheterna i de olika inertialsystemen kallas för hastighetsaddition[def:klassiskhastighetsaddition] av den enkla anledning att hastigheten i det ena systemet ges av hastigheten i det andra adderat till den relativa hastigheten mellan systemen.

Bilar som kör om varandra
Vid en omkörning körs den ena bilen (\displaystyle A) med en konstant hastighet \displaystyle v = 50 km/h om av en annan bil (\displaystyle B) med en konstant hastighet \displaystyle u = 70 km/h. Här har hastigheterna angivits relativt vägbanans inertialsystem. Om vi i stället beskriver rörelsen från inertialsystemet där \displaystyle A är i vila, som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt vägbanan, kommer bil \displaystyle B i detta att röra sig med hastigheten \displaystyle u' som ges av
\displaystyle 70~\mbox{km/h} = u' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad u' = 70 - 50 ~\mbox{km/h} = 20~\mbox{km/h}.
Vi kan även använda oss av hastighetsaddition för att kontrollera att \displaystyle As hastighet \displaystyle v_A' i sitt eget vilosystem är noll enligt
\displaystyle 50~\mbox{km/h} = v_A' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad v_A' = 0~\mbox{km/h}
samt att vägbanans hastighet \displaystyle w' relativt \displaystyle A ges av
\displaystyle 0~\mbox{km/h} = w' + 50~\mbox{km/h}\quad \Longrightarrow \quad w' = -50~\mbox{km/h}.
Notera här att minustecknet betyder att vägbanan rör sig i motsatt riktning i \displaystyle As inertialsystem jämfört hur \displaystyle A rör sig i vägbanans inertialsystem.

Rumtidsdiagram

I många fall är det hjälpsamt att kunna skapa en figur som illustrerar olika händelseförlopp. Ett vanligt sätt att göra detta på inom relativitetsteorin är att använda sig av så kallade rumtidsdiagram[def:rumtidsdiagram]. Dessa är dock inte enbart förekommande i relativitetsteori utan kan med fördel även användas inom klassisk mekanik. Givet ett inertialsystem så kan vi beskriva ett objekts rörelse med hjälp av ett diagram i vilket dess position i systemet visas som en funktion av tiden.

Alice och Bob ritar rumtidsdiagram
Som exempel på detta kan vi beskriva Bobs rörelse i Alices inertialsystem i vårt tidigare exempel genom att visa Bobs position relativt Alice som en funktion av tiden.

Då Bobs läge i Alices inertialsystem ges av \displaystyle x(t) = vt kommer denna funktion att vara en rak linje. På samma sätt kan vi beskriva alla objekt i likformig rörelse med raka linjer i samma diagram. Accelererande objekt beskrivs av krökta kurvor, se figur [fig:rumtidsdiagram].

Den vanliga konventionen i relativitetsteori är att använda den vertikala axeln för att beskriva tidsriktningen. Med denna konvention kommer den kurva som beskriver ett objekt som rör sig med hastigheten \displaystyle v att ha lutningen \displaystyle 1/v och stillastående objekt kommer att beskrivas av vertikala kurvor. En högre hastighet ger därför en mindre lutning och tvärt om. En kurva som på detta sätt beskriver hur ett objekt rör sig kallas för objektets världslinje[def:varldslinje].

[ex:aliceochbobvarldslinjer] Alices och Bobs världslinjer
I Alices inertialsystem kan vi beskriva både Alices och Bobs rörelse genom att titta på deras världslinjer. I figur [fig:alicebobrumtid] visar vi var Alice och Bob befinner sig beskrivet i Alices inertialsystem vid ett antal olika jämnt utspridda tidpunkter.

Genom att dra en kurva genom positionerna för Alice och Bob vid dessa olika tidpunkter kan vi skapa Alices och Bobs världslinjer.

Galileitransformationen och rumtidsdiagram

Som vi nämnt tidigare spelar det inte någon roll vilket inertialsystem vi använder för att beskriva fysikaliska skeenden. När vi ritar ett rumtidsdiagram kan vi därför själva välja vilket inertialsystem vårt diagram ska basera sig på. Som vi tidigare diskuterat finns det ingen fysikalisk princip som medför att vi bör föredra Alices inertialsystem över Bobs eller tvärt om. Skillnaden mellan de båda diagrammen är att objekt som rör sig med hastigheten \displaystyle u i Alices system kommer att röra sig med hastigheten \displaystyle u' = u-v i Bobs system. Därmed kommer objekt vars världslinje hade lutning \displaystyle 1/u i Alices system ha lutningen \displaystyle 1/(u-v) i Bobs system.

Rumtidsdiagram visar en bild av rumtiden där varje punkt motsvarar en händelse, det vill säga en tid och en position. Vilket inertialsystem vi använder för att beskriva rumtiden spelar egentligen ingen roll, utan alla inertialsystem är likvärdiga och beskriver samma rumtid. Faktum är att vi i samma rumtidsdiagram kan rita ut koordinataxlarna för flera olika inertialsystem. Då Alice och Bob följer tidsaxlarna i sina egna system, som beskrivs av \displaystyle x=0 respektive \displaystyle x'=0, är detta lätt gjort och vi kan alltid välja vilket av dessa (om något) vi vill ska ha en vertikal tidsaxel, se figur [fig:alicebobrumtidsdiagram]. För att hitta rumskoordinaten \displaystyle x kan vi dra en linje parallellt med tidsaxeln i \displaystyle S. Rumskoordinaten ges då av det värde vid vilket denna linje korsar \displaystyle x-axeln. På motsvarande sätt kan vi hitta rumskoordinaten \displaystyle x' i \displaystyle S genom att dra en linje parallellt med tidsaxeln i \displaystyle S'.

Eftersom rumsaxeln motsvaras av \displaystyle t = 0 och tiden är densamma i alla inertialsystem sammanfaller alla inertialsystems rumsaxlar.

Acceleration

I diskussionen ovan har vi sett att både rumskoordinaten \displaystyle x och hastigheten \displaystyle u för olika objekt beror på vilket inertialsystem vi använder för att beskriva hur de rör sig. Låt oss studera vad som händer med accelerationen. Enligt Newtons andra lag ska accelerationen vara proportionell mot kraften som verkar på ett objekt. Detta bör innebära att accelerationen är densamma i alla inertialsystem så länge kraften är det. Vi kan visa att detta stämmer genom definitionen av ett objekts acceleration som tidsderivatan av dess hastighet. Om ett objekt i inertialsystemet \displaystyle S' har accelerationen \displaystyle a' = du'/dt' = du'/dt gäller det att
\displaystyle a = \frac{du}{dt} = \frac{du'}{dt} + \frac{dv}{dt} = \frac{du'}{dt} = a'
i inertialsystemet \displaystyle S, där vi har använt oss av att den relativa hastigheten \displaystyle v mellan inertialsystemen är konstant. Det följer därmed att accelerationerna i båda inertialsystemen är desamma.

Invarianter

Ett viktigt begrepp inom fysiken är så kallade invarianter[def:invariant]. En invariant är en storhet som antar samma värde oberoende av vilket inertialsystem som används för att beskriva den och vi kommer i kursen att genomgående använda oss av olika invarianter. Vi har redan nu sett flera exempel på invarianter inom klassisk mekanik.

Invarianter i klassisk mekanik
I klassisk mekanik där vi har antaganden om absolut tid och absolut rum är tidsskillnaden mellan två händelser en invariant. Om den ena händelsen inträffar en tid \displaystyle t_0 efter den andra i ett inertialsystem så gör den det i alla inertialsystem. Likaså är längden av ett objekt, det vill säga skillnaden i rumskoordinaterna för dess ändar vid en given tid, en invariant i klassisk mekanik. Vi har även sett att accelerationen \displaystyle a = d^2 x/dt^2 för ett objekt är densamma i alla inertialsystem och därmed en invariant.

Icke invarianta storheter
Det är också viktigt att förstå vilka storheter som inte är invarianter. Till exempel ges rörelseenergin för ett objekt i klassisk mekanik av \displaystyle E_k = mv^2/2, där \displaystyle m är objektets massa och \displaystyle v dess hastighet. I objektets vilosystem är rörelseenergin därför noll, men i ett system där objektet rör sig är den nollskild. Exempel på andra storheter som inte är invarianta i klassisk mekanik är hastighet och rörelsemängd.

Vi har redan implicit använt oss av att tiden \displaystyle t och avståndet \displaystyle \ell mellan två objekt är invariant när vi härledde galileitransformationen. Detta är grundläggande antaganden inom klassisk mekanik som kommer att utmanas och revideras i kommande kapitel. Redan i nästa kapitel kommer vi att, precis som Einstein gjorde, utgå från att ljusets hastighet i vakuum ska vara en invariant och se hur detta kullkastar antagandena om att tid och avstånd är det.

Sammanfattning:

• Klassisk mekanik och speciell relativitetsteori handlar om hur verkligheten beskrivs utifrån inertialsystem.
• Vare sig i klassisk mekanik eller i speciell relativitetsteori förekommer någon absolut vila.
• I klassisk mekanik antas det finnas en absolut tid \displaystyle t samt att avstånd vid en given tid är desamma i alla inertialsystem.
• Vi kan byta inertialsystem i klassisk mekanik genom att använda oss av galileitransformationen \displaystyle t' = t, \quad x' = x - vt.
• Galileitransformationen medför att hastigheterna \displaystyle u och \displaystyle u' av samma objekt i två olika inertialsystem som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt varandra relateras enligt formeln \displaystyle u = u' + v. Detta kallas för hastighetsadditionsformeln.
• I ett rumtidsdiagram kan vi beskriva hur olika objekt rör sig genom att rita ut deras världslinjer som beskriver objektens läge som en funktion av tiden.
• Till skillnad från position och hastighet är acceleration i klassisk mekanik oberoende av inertialsystemet.
• En invariant är en fysikalisk storhet som antar samma värde i alla inertialsystem.

Ljushastigheten

Läromål:

• Känna till den speciella relativitetsteorins postulat och vad som är skillnaden gentemot klassisk fysik.
• Vara bekant med den experimentella bakgrunden till postulatet om ljushastighetens invarians.
• Känna till tidsdilatation och längdkontraktion och kunna utföra enkla beräkningar av dessa effekter.
• Känna till att den klassiska synen på tid och rum är en bra approximation vid låga relativa hastigheter men inte vid höga hastigheter.
• Känna till hur relativitetsteori används i GPS-tekniken.

Einsteins speciella relativitetsteori från 1905 bygger på två postulat:

1. Fysikens lagar är invarianta i alla inertialsystem.

2. Ljusets hastighet \displaystyle c i vakuum är invariant i alla inertialsystem.

Med postulat menas de grundantaganden eller principer som inte kan härledas men i stället måste bekräftas av experiment. Postulat 1 kallas den speciella relativitetsprincipen. I kapitel 1 diskuterades begreppet invarians samt att relativitetsprincipen gäller även i klassisk fysik. Relativitetsprincipen innebär att fysikens lagar antar samma form i alla inertialsystem så att ingen referens till absolut vila ska finnas. Det nya i relativitetsteorin är postulat 2 som upphöjer ljusets hastighet till en naturlag. Postulat 2 betyder att ljushastigheten är oberoende av ljuskällans och observatörens hastighet. Som vi ska se har detta enormt långtgående konsekvenser. Det leder till att grunden för hur vi ser på rum och tid och vardagliga begrepp som längden av en linjal och hur snabbt en klocka går behöver revideras.

Ljushastigheten i vakuum definieras som
\displaystyle \boxed{c=299 792 458 \mbox{ m/s} \approx 3.00 \cdot 10^8 \mbox{ m/s.}}
I genomskinlig materia, till exempel glas eller luft, är ljushastigheten \displaystyle v lägre än \displaystyle c, och \displaystyle n=c/v kallas materialets brytningsindex. För luft är \displaystyle n\approx 1.0003 och för glas är \displaystyle n\approx 1.5. Vi reserverar begreppet ljushastigheten och beteckningen \displaystyle c för ljushastigheten i vakuum. Värdet på \displaystyle c beror på enheterna meter och sekund. En meter definieras som sträckan som ljus färdas i vakuum på \displaystyle 1/299 792 458 s. En sekund definieras med atomklockor som tiden för 9192631770 perioder hos strålningen från övergången mellan två energinivåer i cesium-133-atomen.

Resten av kursen kommer att handla om konsekvenserna av relativitetsteorins postulat. Vi kommer snart in på den experimentella bakgrunden till relativitetsteorin. För att introducera problematiken och demonstrera att klassisk mekanik behöver revideras ska vi först studera exempel med hastighetsaddition. I relativitetsteorin är det ofta viktigt att jämföra hastigheten hos ett objekt med ljushastigheten. Vid låga hastigheter jämfört med \displaystyle c är klassisk fysik en bra approximation. I kapitel 1 gavs exempel på klassisk hastighetsaddition som är giltig vid låga hastigheter. Vid hastigheter jämförbara med \displaystyle c, som kallas relativistiska, kommer klassisk fysik inte att vara giltig. Frågan är vad som händer med hastighetsaddition vid relativistiska hastigheter.

Alice och Bob experimenterar i rymden
Alice färdas med ett rymdskepp som har hastighet \displaystyle v=c/2 i förhållande till Bob. Alice tänder en strålkastare som skickar ut en ljusstråle i rymdskeppets rörelseriktning. Enligt postulat 2 har ljusstrålen hastigheten \displaystyle c i förhållande till Alice. Enligt den klassiska hastighetsadditionsformeln skulle Bob observera ljushastigheten från Alices ljusstråle till ljusets hastighet relativt rymdskeppet plus rymdskeppets hastighet: \displaystyle c+c/2=1.5c. Detta strider mot postulat 2 som säger att ljusets hastighet relativt Bob också är \displaystyle c.

Detta exempel visar att den klassiska hastighetsadditionsformeln strider mot postulatet om ljushastighetens invarians. För att avgöra vad som faktiskt händer behövs experiment.

Experimentell bakgrund

Relativitetsteorins postulat baseras på experiment. Relativitetsprincipen säger att fysikens lagar är desamma i alla inertialsystem och stämmer med alla experiment som hittills utförts. Detta gäller i både klassisk mekanik och i speciell relativitetsteori och vi kommer inte att diskutera saken vidare. Vi fokuserar i stället på den experimentella bakgrunden till postulatet om ljushastighetens invarians som säger att \displaystyle c är oberoende av ljuskällans och observatörens hastigheter.

Två ledande fysikteorier på 1800-talet var Newtons klassiska mekanik och Maxwells teori för elektromagnetism. Newtons klassiska mekanik, som diskuterades i kapitel 1 beskrev enormt framgångsrikt alla mekanikproblem som kunde studeras på den tiden, till exempel planetbanor. Maxwells ekvationer<ref>Maxwells ekvationer förutsätter mer matematik och ingår inte i kursen men vi vill ändå visa hur de ser ut i vakuum: \displaystyle {\rm div}\, \vec{E} = 0, {\rm div}\, \vec{B} = 0, {\rm rot}\, \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, {\rm rot}\, \vec{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}, där \displaystyle c är ljushastigheten, och \displaystyle \vec{E} och \displaystyle \vec{B} är de elektriska och magnetiska fälten.</ref> ger en enhetlig beskrivning av elektromagnetismen. Fysikerna hade dock ett stort problem: Newtons och Maxwells teorier är inte kompatibla med varandra. Maxwells ekvationer förutsäger att det finns elektromagnetiska vågor i vakuum som fortskrider med ljushastigheten \displaystyle c. Maxwell insåg på detta sätt att ljus är elektromagnetiska vågor. Maxwells ekvationer har studerats i detalj och används i många tekniska sammanhang. Till exempel utnyttjas elektriska strömmar för att sända och ta emot elektromagnetiska vågor i mobiltelefoner.

Maxwells upptäckt ledde till ett nytt problem. Klassisk mekanik beskriver vågor som mekaniska svängningar i ett medium. Exempelvis är ljud tryckvågor i luft, där luftmolekylernas positioner svänger på ett sätt som beskrivs av klassisk mekanik. Om ljus är elektromagnetiska vågor som kan fortskrida genom vakuum, vad är det då som svänger i vågrörelsen? Maxwell försökte tolka sina ljusvågor som mekaniska svängningar i ett medium som han kallade etern. Inga experiment har dock kunnat påvisa eterns existens och idag antas att den inte finns.

Beröringspunkten mellan Maxwells ekvationer och relativitetsteorin ges av följande observationer: 1. I Maxwells ekvationer har ljushastigheten värdet \displaystyle c som inte beror på ljuskällans och observatörens hastigheter. 2. Man kan visa att Maxwells ekvationer inte är invarianta under galileitransformationen (vi ska inte gå in på det här eftersom detta kräver mer matematik). Klassisk mekanik förutsätter invarians under galileitransformationen och att våghastigheter beror på observatörens relativa rörelse, vilket inte uppfylls av Maxwells ekvationer. Koordinattransformationen som lämnar Maxwells ekvationer invarianta kallas lorentztransformationen och ersätter galileitransformationen inom relativitetsteorin. Lorentztransformationen diskuteras i kapitel [[#ch:lorentztransformationer|]].

Slutsatsen är att Maxwells och Newtons teorier inte går ihop med varandra. Detta var ett stort dilemma för fysiker i slutet av 1800-talet. Något i teorin var fundamentalt problematiskt och behövde modifieras. En möjlig förklaring konstruerades inom eterteorin. Antagandet var att Maxwells ekvationer med en konstant ljushastighet bara gäller i eterns vilosystem. Om observatören rör sig i förhållande till etern bör en annan ljushastighet observeras enligt den klassiska hastighetsadditionsformeln.

Många olika experiment har utförts för att bestämma ljushastigheten. Det historiskt mest betydande experimentet är Michelson-Morleys experiment från 1887 som vi nu ska diskutera. Frågeställningen är följande: Enligt Maxwells eterteori bör ljushastigheten vara \displaystyle c när mätningen utförs av ett experiment som är i vila med avseende på etern. Om jorden rör sig relativt etern behöver jordens hastighet i eterns vilosystem, som kallas etervinden, adderas till den uppmätta ljushastigheten. Därför bör ljushastigheten vara olika i olika riktningar: i etervindens riktning bör ljushastigheten avvika från ljushastigheten vinkelrätt mot etervinden.

Michelson-Morleys experiment går i princip till så här:

frame|none|x151px|alt=|caption Principskiss av Michelson-Morleys experiment.

[fig2_MichelsonMorley]

En ljusstråle riktas mot en halvgenomskinlig spegel som delar upp ljuset i strålar som riktas i vinkelräta riktningar, se figur [fig2_MichelsonMorley]. Efter ett visst avstånd speglas ljuset tillbaks och de båda strålarna blandas ihop. Om ljushastigheten är lite olika i de olika riktningarna kan svängningarna i ljusvågorna delvis komma i ofas och interferens uppstår, det vill säga ljusvågor som är i motfas släcker ut varandra så att ljusstyrkan reduceras. Interferensfenomen kan mätas med mycket stor noggrannhet. Resultatet av experimentet är ett av de viktigaste negativa resultaten i fysiken: ingen påverkan på ljushastigheten av jordens rörelse i etern kan påvisas. Ljushastigheten är precis samma i alla riktningar.

I försök att rädda eterteorin formulerades teorier om att dragkraften mot etervinden komprimerade all materia, så kallad lorentzkontraktion, så att etervindens bidrag till ljushastigheten precis motverkas och ingen observerbar effekt blir kvar. Etern kan i så fall aldrig observeras, men antagandet att de två orelaterade effekterna precis tar ut varandra är otillfredsställande. Moderna mätningar med mikrovågsresonatorer har satt en experimentell gräns på ljushastighetens riktningsberoende till \displaystyle \Delta c/c\approx 10^{-17}. En aktuell användning av Michelson-interferometri – nu med ett positivt resultat – är LIGO-experimentet som upptäckte gravitationsvågor 100 år efter Einsteins förutsägelse från den allmänna relativitetsteorin.

Läget i slutet av 1800-talet var förvirrat. För att få ihop Maxwells ekvationer med klassisk mekanik behövdes en eter som inte gick att observera! Flera av de avgörande stegen bort från Newtons världsbild togs av en då okänd tjänsteman på patentverket i Bern. Einstein publicerade år 1905 banbrytande arbeten om den speciella relativitetsteorin, teorin för Brownsk rörelse, samt teorin för den fotoelektriska effekten som är en viktig pusselbit i kvantfysiken och var det enda som omnämndes i motiveringen till Einsteins Nobelpris i fysik 1921. Einsteins relativitetsteori innebär en drastisk revision av den klassiska mekanikens världsbild. Uppfattningarna om absolut rum och tid förkastas. Einstein visade att hypotesen om en eter som inte går att observera är onödig. Relativitetsteorin visar att Maxwells ekvationer är korrekta naturlagar som inte beror på valet av inertialsystem. Det är den klassiska fysikens antagande om absolut rum och tid som behöver revideras.

Konsekvenser

Vi har nu sammanfattat delar av bakgrunden till relativitetsteorin och ska nu diskutera några direkta konsekvenser av Einsteins postulat. Kommande kapitel ägnas åt en mer detaljerad och fullständig behandling. Vi ska se hur relativitetsteorin gör spektakulära förutsägelser som ändrar synen på grundläggande begrepp som tid och rum, men även är avgörande för flera viktiga tekniska tillämpningar.

Brott mot galileiinvarians

Galileitransformationen är en viktig grund för klassisk mekanik och diskuterades i kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]]. Där visades att galileitransformationen direkt leder till den klassiska hastighetsadditionsformeln. Men exempel 2.1 visar att postulatet om ljushastighetens invarians leder till brott mot klassisk hastighetsaddition och därmed mot galileitransformationen. Slutsatsen är att galileitransformationen behöver modifieras och därmed faller en hörnsten i den klassiska fysiken. Relativitetsteorins koordinattransformation, lorentztransformationen gås igenom i kapitel  [[#ch:lorentztransformationer|]].

Tidsdilatation [sec:tidsdilatation]

I klassisk fysik antas postulatet om absolut tid som säger att \displaystyle t'=t i galileitransformationen. I relativitetsteorin gäller inte längre detta postulat. Tidsdilatation är en av de märkvärdigaste konsekvenserna av relativitetsteorin. Den säger att tiden går olika fort beroende på i vilket inertialsystem man befinner sig: tiden är relativ.

Det behövs nu en teknisk definition av begreppet tid. Tid definieras som det man mäter med en klocka. En klocka är en anordning som genomgår en periodisk rörelse, och vilken sådan anordning som helst duger. För våra behov kommer vi att använda en enkel modell av en klocka som är bekväm att analysera. Vi tänker oss en anordning med ljusstrålar och speglar som vi kallar en ljusklocka. En ljuspuls reflekteras periodiskt mellan två parallella speglar på avstånd \displaystyle \ell från varandra, se figur [fig2_tidsdilatation]. Vid den ena spegeln finns en ljusdetektor som registrerar ett tidssteg varje gång ljuspulsen reflekteras. Tidsstegen kan tänkas motsvara att klockan tickar.

Alice är i vila relativt klockans vilosystem \displaystyle S' och skickar ut en ljuspuls från den undre spegeln som riktas i \displaystyle y-riktningen mot den övre spegeln, se figur [fig2_tidsdilatation] (a). Periodtiden \displaystyle \Delta t' i klockans vilosystem kallas egentiden och skrivs \displaystyle \Delta t_0. Sträckan som ljuset färdas under en period är \displaystyle 2\ell =c\Delta t_0, där \displaystyle \Delta t_0=2\ell /c är periodtiden.

[fig2_tidsdilatation]

Sett från Bobs inertialsystem \displaystyle S färdas klockan med hastighet \displaystyle v, se figur [fig2_tidsdilatation] (b). Klockans speglar är ortogonala mot \displaystyle y-riktningen och hastigheten är i \displaystyle x-riktningen. Vid tiden \displaystyle \Delta t har ljuspulsen färdats en gång fram och tillbaka mellan speglarna. Eftersom klockan då flyttats sträckan \displaystyle v\Delta t så befinner sig ljuspulsen vid positionen \displaystyle x=v\Delta t. Bob finner med hjälp av Pythagoras sats för triangeln som markeras i figuren att sträckan som ljusstrålen färdas från undre till övre spegeln uppfyller \displaystyle (c \Delta t/2)^2=(v \Delta t/2)^2+\ell ^2. Med Alices resultat \displaystyle \ell =c\Delta t_0/2 erhålls \displaystyle (c \Delta t/2)^2=(v\Delta t/2)^2+(c \Delta t_0/2)^2, vilket ger
\displaystyle \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
Vi inför nu lorentzfaktorn \displaystyle \gamma som kommer att vara viktig genom hela kursen:
\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.
Lorentzfaktorn är \displaystyle \gamma > 1 om \displaystyle 0, vilket ger slutresultatet för tidsdilatationen:
\displaystyle \boxed{\Delta t=\gamma \Delta t_0 > \Delta t_0 .}
Alltså är \displaystyle \Delta t > \Delta t_0 och Bob observerar att Alices klocka gå sakta. Hur snabbt tiden går beror på den relativa rörelsen.

Tidsdilatationen är drastiskt annorlunda än den klassiska fysikens postulat om absolut tid, enligt vilken Alice, Bob och alla inertiala observatörer antar samma periodtid hos klockan: \displaystyle \Delta t'=\Delta t, men olika ljushastigheter. Detta inses av att galileitransformationen ger ljushastighetens kvadrat i Bobs system till \displaystyle c^2+v^2, vilket i räkningen ovan ger \displaystyle (c^2+v^2) \Delta t^2=v^2 \Delta t^2+c^2 \Delta t'^2 och \displaystyle \Delta t'=\Delta t.

Alice och Bob studerar tidsdilatation
(a) Antag att egentiden är \displaystyle \Delta t_0=1 s. Om \displaystyle v=0.01c så blir \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.01^2}\approx1.00005 och Bob ser att Alices klocka tar \displaystyle 1.00005 s mellan tickningarna. Vid små relativa hastigheter är tidsdilatationen försumbar.
(b) Om \displaystyle v=0.99c så blir \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.99^2}=7.1 och Bob ser att Alices klocka tar 7.1 s mellan tickningarna. Det vill säga, Bob ser Alices klocka gå sakta. Tidsdilatationseffekten är stor vid hastigheter nära \displaystyle c.
(c) Vad observerar Alice hos Bobs klocka? Svaret är precis samma tidsdilatation eftersom båda inertialsystemen är likvärdiga enligt relativitetsprincipen. Alice observerar att det är Bobs klocka som går sakta och tar 7.1 s mellan tickningarna i fallet (b). Hur kan båda observera att den andres klocka går sakta? Denna paradoxala situation ska redas ut i kommande kapitel.

Exemplet illustrerar varför tidsdilatationen inte stämmer med vardaglig erfarenhet av hur klockor beter sig. Effekten är stor bara vid hastigheter nära ljushastigheten. För små hastigheter är \displaystyle \Delta t \approx \Delta t' och endast vid hastigheter nära ljushastigheten fås stora avvikelser. Detta förklarar även att på Newtons tid då atomklockor inte fanns kunde avvikelser från absolut tid inte detekteras.

En annan viktig observation är att hastigheten \displaystyle v i lorentzfaktorn inte kan vara större än ljushastigheten eftersom \displaystyle \gamma då blir imaginärt.<ref>Ett imaginärt tal är roten ur ett negativt tal och kan inte ange värdet på en fysikaliskt mätbar storhet som måste vara ett reellt tal.</ref> Relativitetsteorin har alltså ljushastigheten inbyggd som en universell hastighetsgräns. Vi kommer ha mer att säga om denna aspekt i senare kapitel. Observera även att om den invarianta ljushastigheten hade varit oändlig, \displaystyle c=\infty, så skulle \displaystyle \gamma=1 och \displaystyle \Delta t=\Delta t', så att världen skulle vara icke-relativistisk.

Relativitetsteorins förutsägelse om tidsdilatationseffekten bekräftas av många olika experiment som demonstrerar att principen om absolut tid måste överges. Vi tar upp några exempel. Hafele och Keating utförde experiment med atomklockor på flygplan som bekräftar tidsdilatationen. Dessa experiment ska diskuteras mer ingående i kapitel [[#ch:paradoxer|]].

Tidsdilatation kan även observeras genom mätningar av myoners livstid. Myoner är instabila partiklar som sönderfaller i sitt vilosystem efter egentiden 2.197 s. I atmosfären skapar kollisioner med kosmisk strålning snabba myoner som färdas med ca 98% av ljushastigheten. Livstiden hos dessa snabba myoner observeras till ungefär 5 gånger livstiden i vila, vilket stämmer bra med lorentzfaktorn \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-0.98^2}=5.0. Liknande men mycket noggrannare mätningar av myonens livstid vid höga relativistiska hastigheter har gjorts vid CERN som i detalj bekräftar tidsdilatationen.

GPS (Global Positioning System) är ett ständigt pågående experiment i relativitetsteori som dagligen används av miljontals människor. GPS används vid navigation för att bestämma position, höjd och hastighet. Systemet baseras på 24 satelliter som kretsar kring jorden. Varje satellit är utrustad med atomklockor. GPS-mottagare använder radiosignaler från de satelliter som för tillfället är närmast för att bestämma tid och position. Positionen beräknas i GPS-mottagaren genom att jämföra tiden för signaler från minst tre satelliter att nå mottagaren. Satelliterna rör sig relativt jordytan med hastigheten \displaystyle v=14000 km/h i banor med omloppstid på ungefär 12 timmar. Tidsdilatationen saktar ner klockorna med en faktor \displaystyle \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=1.00000000008 relativt klockor på jorden. På ett dygn ger det ett tidsfel på 7 \displaystyle \mus.<ref>Vidare finns en effekt inom allmän relativitetsteori som säger att en klocka i ett starkt gravitationsfält går långsammare än en klocka i ett svagt gravitationsfält. Vid 20000 km ovanför jordytan ger det ett fel på 45 \displaystyle \mus per dygn. Nettoeffekten av båda dessa effekter är att klockorna i GPS satelliterna går 45-7=38 \displaystyle \mus snabbare per dygn än klockor på jorden.</ref> Denna noggrannhet är helt otillräcklig för GPS systemet. En positionsbestämning med 5 m noggrannhet kräver en tidsbestämning med 16 ns noggrannhet, eftersom 5 m är den sträcka radiosignaler som färdas med ljusets hastighet tillryggalägger på 16 ns. Utan korrigering skulle navigationsfelen ackumuleras till över 10 km per dygn och den önskade noggrannheten skulle förloras efter 2 minuter. Atomklockorna i GPS-satelliterna och elektroniken i mottagarna kompenserar för de relativistiska effekterna. Utan denna kompensation skulle GPS vara oanvändbart. Relativitetsteori är essentiellt för att det globala navigeringssystemet ska fungera.

Längdkontraktion [sec:langdkontraktion]

I förra avsnittet såg vi att den klassiska fysikens antagande om absolut tid överges i relativitetsteorin. Nu ska vi göra samma sak med det klassiska antagandet om ett absolut rum, som säger att längden av en måttstock är oberoende av observatörens rörelse. Detta är inbyggt i galileitransformationens relation \displaystyle x'=x-vt: stavens längd i vilosystemet är \displaystyle l_0=x_1'-x_2'=(x_1-vt)-(x_2-vt)=x_1-x_2=l, vilket är längden i rörelse.

I relativitetsteorin ska vi nu se att måttstockens längd beror på observatörens rörelsetillstånd. För att härleda denna effekt roterar vi ljusklockan så att den riktas i \displaystyle x-riktningen. Se figur [fig2_langdkontraktion] (a). Klockan fungerar på precis samma sätt som i diskussionen om tidsdilatation i avsnitt [sec:tidsdilatation]: fysikens lagar och därmed klockans periodtid är oberoende av inertialsystem, och därför av experimentets orientering i rummet. I klockans vilosystem \displaystyle S' sker följande. Avståndet mellan speglarna i vilosystemet är egenlängden \displaystyle \ell_0. Vid \displaystyle t'=0 skickar Alice ut en ljuspuls från den vänstra spegeln, vid \displaystyle \Delta t'/2 reflekteras ljuset mot den högra spegeln och vid tiden \displaystyle \Delta t'=\Delta t_0 återvänder ljuset till den vänstra spegeln. Ljuset färdas sträckan \displaystyle 2\ell_0 =c\Delta t_0.

[fig2_langdkontraktion]

Relativt Bobs inertialsystem \displaystyle S färdas klockan med hastigheten \displaystyle v i ljusstrålens riktning, se figur [fig2_langdkontraktion] (b). I Bobs system är klockans längd \displaystyle \ell. Vid tiden \displaystyle t=0 skickas ljuspulsen ut från den vänstra spegeln och efter tiden \displaystyle \Delta t_1 når pulsen den andra spegeln efter att ha färdats sträckan
\displaystyle c\Delta t_1=\ell +v\Delta t_1 \Rightarrow \Delta t_1=\frac{\ell }{c-v}.
Pulsen reflekteras i den högra spegeln och når den vänstra spegeln efter ett ytterligare tidsintervall \displaystyle \Delta t_2. På tillbakavägen är sträckan
\displaystyle c\Delta t_2=\ell -v\Delta t_2 \Rightarrow \Delta t_2=\frac{\ell }{c+v}.
Periodtiden blir därför
\displaystyle \Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2 =\frac{\ell }{c-v}+\frac{\ell }{c+v} =\frac{2\ell /c}{1-v^2/c^2} =\frac{\gamma^2 2\ell }{c}.
Enligt tidsdilatationsformeln \displaystyle \Delta t=\gamma\Delta t_0=\gamma 2\ell_0 /c blir därför
\displaystyle \boxed{\ell =\frac{\ell_0 }{\gamma}<\ell_0 .}
Bob observerar alltså att klockans längd är mindre än i vilosystemet. Detta kallas längdkontraktion: längden av ett rumsintervall beror på observatörens rörelse i intervallets längdriktning.

Alice, Bob och längdkontraktion
(a) Alice håller i en stav som är \displaystyle \ell_0 =1 m lång i sitt vilosystem \displaystyle S'. I Bobs vilosystem \displaystyle S färdas staven i längdriktningen med hastigheten \displaystyle v. Om \displaystyle v=0.01c observerar Bob att stavens längd är \displaystyle \ell =\ell_0 /\gamma=\sqrt{1-0.01^2}\ell \approx 0.99995 m. Om \displaystyle v=0.99c observerar Bob att stavens längd är \displaystyle \ell =\ell_0 /\gamma=\sqrt{1-0.99^2}\ell \approx 0.14 m. Effekten är symmetrisk. Alice observerar att en stav som Bob håller i förkortas med samma faktor.
(b) Vinkelrätt mot rörelseriktningen fås ingen längdkontraktion vilket inses av följande argument. Alice och Bob vinklar sina stavar med 90 grader och håller en penna vid stavarnas övre ände som ritar ett streck på den andres stav när de passerar förbi. Antag först att Bobs stav kontraheras sett från Alices system. Då missar Alices penna Bobs stav, men Bobs penna ritar ett streck på Alices stav när de passerar. En liknande effekt inträffar i Bobs system, men nu kontraheras Alices stav och det är i stället Bobs stav som får ett streck. Men enligt relativitetsprincipen är Alices och Bobs system ekvivalenta och därför kan stavarna inte markeras olika sett från de olika systemen. Därför kan varken längdkontraktion eller längdexpansion ske vinkelrätt mot den relativa rörelsen.

Man kan fråga sig hur längdkontraktionen uppstår. Varför förkortas staven sett från ett rörligt system? Inga krafter som komprimerar staven verkar, så hur kommer det sig att den deformeras? Dessutom, vad händer om materialet i staven är skört och går sönder vid kompression? I vilosystemet sker ingen kompression, men i andra system komprimeras staven. Håller staven? Svaret på dessa frågor kommer i senare kapitel när vi studerar begreppet samtidighet, som är ett nyckelkoncept i relativitetsteorin. Det kommer fler exempel på relativistiska deformationer av fasta kroppar under kursen.

Direkta experimentella test av relativistisk längdkontraktion är inte tillgängligt eftersom det är svårt att studera måttstockar som färdas nära ljusets hastighet. Övertygande indirekta test ges dock återigen av de atmosfäriska myonerna. Avståndet till jorden längdkontraheras i myonernas vilosystem så att de hinner fram trots att deras räckvidd är för kort i jordens vilosystem.

[fig2_elektriskledare]

Relativitet hos elektriska och magnetiska krafter
Vi ska avsluta med ett exempel om längdkontraktion som visar att relativitetsteorin länkar samman elektriska och magnetiska krafter till ett gemensamt fenomen som kallas elektromagnetism. Studera en partikel med laddning \displaystyle q som rör sig utanför en strömförande metallisk ledningstråd från olika inertialsystem \displaystyle S och \displaystyle S'. Se figur [fig2_elektriskledare]. I \displaystyle S är ledaren i vila och laddningen rör sig med hastigheten \displaystyle v parallellt med ledaren. I \displaystyle S' är laddningen i vila och ledaren har hastighet \displaystyle v i negativ riktning. Vi antar för enkelhets skull att partikelns hastighet \displaystyle v är samma som hastigheten hos ledningselektronerna som utgör den elektriska strömmen i ledaren. Elektronerna är negativt laddade och markeras schematiskt i figuren som grå cirklar. Ledaren är elektriskt neutral och den positivt laddade bakgrundsladdningen som är i vila i \displaystyle S markeras som röda cirklar. Ledningselektronernas hastighet i metallen kallas fermihastigheten och är typiskt \displaystyle 1\% av ljushastigheten. Som vi ska se är relativitetsteori viktigt här trots att \displaystyle \gamma=1.00005 är nästan ett. Strömmen i ledaren genererar ett magnetfält \displaystyle B utanför ledaren, som i sin tur ger en magnetisk kraft \displaystyle F=qvB på laddningen i rät vinkel mot ledaren. Den magnetiska kraften är alltså proportionell mot hastigheten \displaystyle v hos partikeln. Eftersom ledaren är elektriskt neutral finns ingen elektrisk kraft på partikeln i \displaystyle S. Nu ska vi studera problemet från inertialsystemet \displaystyle S' där partikeln är i vila och ledaren rör sig. Den positiva laddningen som rör sig med ledaren kommer fortfarande att ge upphov till ett magnetfält, men det kommer inte att finnas någon magnetisk kraft eftersom laddningen är i vila i \displaystyle S. Men båda inertialsystemen är ekvivalenta så vad orsakar kraften på partikeln i \displaystyle S'? Lösningen följer av längdkontraktion. I \displaystyle S' kommer medelavståndet mellan positiva laddningar i den framrusande ledaren att längdkontraheras vilket ökar den positiva laddningen per längdenhet jämfört med \displaystyle S. För de negativa laddningarna verkar längdkontraktionen i motsatt riktning eftersom de är i vila i \displaystyle S' och deras inbördes avstånd längdkontraheras i \displaystyle S. Den negativa laddningen per längdenhet minskar därför i \displaystyle S' jämfört med i \displaystyle S. Resultatet är att i \displaystyle S' är ledaren positivt laddad, vilket ger upphov till ett elektriskt fält \displaystyle E som attraherar laddningen mot ledaren om \displaystyle q<0 och repellerar om \displaystyle q>0. Detta visar att uppdelningen i magnetisk och elektrisk kraft beror på val av inertialsystem. Med andra val av inertialsystem fås en annan uppdelning i elektriskt och magnetiskt fält.

Sammanfattning:

• Speciella relativitetsteorins postulat är:
  

1. Relativitetsprincipen: fysikens lagar är invarianta i alla inertialsystem.
2. Ljushastigheten \displaystyle c är invariant i alla inertialsystem.

• Relativistisk tidsdilatation och längdkontraktion visar att tids- och rumsintervall beror på observatörens relativa hastighet vilket reviderar den klassiska fysikens antagande om absolut tid och rum.
• Tidsdilatation säger att ett tidsintervall uppmätt av en klocka i rörelse med hastighet \displaystyle v är \displaystyle \Delta t=\Delta t_0/\sqrt{1-v^2/c^2}

   =\gamma \Delta t_0 där egentiden \displaystyle \Delta t_0 är tidsintervallet hos klockan i vila.

• Längdkontraktion: längden hos en stav i rörelse med hastighet \displaystyle v är \displaystyle \ell =\ell _0\sqrt{1-v^2/c^2}=\ell _0/\gamma där egenlängden \displaystyle \ell _0 är längden hos staven i vila.
• Lorentzfaktorn \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, där \displaystyle v är en relativ hastighet, förekommer både i uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion. Den kommer ofta att förekomma i relativistiska samband.

Relativ samtidighet

Läromål:

• Kunna redogöra för begreppet relativ samtidighet och hur det kan illustreras med tankeexperiment.
• Förstå hur klockor kan synkroniseras i ett inertialsystem, och att klockor som är synkroniserade i ett inertialsystem är osynkroniserade i andra inertialsystem.
• Vara bekant med att relativ samtidighet ligger till grund för relativistiska effekter.

Enligt postulatet om absolut tid som diskuterades i kapitel 1 antas i klassisk fysik att tiden är oberoende av rörelsetillståndet och är samma för alla inertialobservatörer. En konsekvens av absolut tid är att begreppet samtidighet är absolut i den bemärkelsen att om två händelser är samtidiga i ett inertialsystem så är de samtidiga i alla inertialsystem. Huvudresultatet i detta kapitel är att absolut samtidighet överges och ersätts med relativ samtidighet[def:relativsamtidighet].

Relativ samtidighet: Händelser som är samtidiga i ett givet inertialsystem är inte samtidiga i andra inertialsystem.

Samtidighet som är oberoende av inertialsystem är en giltig approximation vid låga hastigheter men inte vid höga. Problemet vid höga hastigheter illustreras av följande tankeexperiment:

[fig_tag]

[ex3.1] Alice och Bob undersöker samtidighet på ett tåg
Alice befinner sig i en tågvagn som rör sig med konstant hastighet. I vagnents mitt skickas en ljussignal ut och sprider sig i alla riktningar, se figur [fig_tag]. Alice observerar att ljuspulsen når vagnens bakre och främre vägg samtidigt. Bob står stilla på marken och ser tågvagnen åka förbi med den konstanta hastigheten \displaystyle v, samt att ljuset har hastigheten \displaystyle c. Bob ser att tågvagnens bakre vägg åker mot ljuset och därför träffas av ljusstrålen innan den främre väggen, som åker bort från ljuset, träffas. Bob observerar därför att ljuset inte träffar väggarna samtidigt. Samtidiga händelser för Alice är inte samtidiga för Bob. Detta är innebörden av relativ samtidighet. Effekten är liten vid låg hastighet hos tågvagnen: \displaystyle v\ll c, men blir stor för relativistiska hastigheter: \displaystyle v\approx c.

Slutsatsen av ovanstående exempel är att den klassiska mekanikens absoluta samtidighetsbegrepp behöver revideras. I resten av kapitlet ska vi studera relativ samtidighet i detalj och visa hur detta leder till en bättre förståelse för relativistiska effekter.

Samtidighet och synkronisering av klockor

Samtidighet och synkronisering av klockor är intimt förknippade. Att avgöra om två händelser är samtidiga går till på följande sätt. Enligt diskussionen i kapitel 1 tänker vi oss ett inertialsystem som ett system av identiska måttstockar som ligger efter varandra och anger koordinater för varje punkt i rummet. I varje punkt finns identiska klockor som ger en tidskoordinat. På detta sätt kan alla händelser med koordinaterna \displaystyle t och \displaystyle x registreras. Två händelser definieras som samtidiga i ett inertialsystem om de har samma värde på sin tidskoordinat hos de synkroniserade klockorna i det systemet.

Notera att samtidighet inte är det som visas på ett fotografi eftersom ljushastigheten är ändlig och ljuset tar olika lång tid att nå kameran beroende på avståndet till objektet som fotograferas. Vid en samtidig observation av händelser i ett inertialsystem måste en bestämning av positionen göras samtidigt av inertialobservatörer på plats för händelserna. En samtidig observation på jorden och en av stjärnorna i Alfa Centauri-systemet kan inte göras från jorden eftersom ljuset tar ungefär fyra år att komma till jorden. Det behövs observatörer med synkroniserade klockor på jorden och på Alfa Centauri som utför observationer vid en given tidpunkt.

I ett inertialsystem behöver klockorna vara synkroniserade för att visa samma tid i hela inertialsystemet. Synkroniseringen kan göras på följande sätt. Från punkten mitt mellan två klockor skickas en ljusblixt ut och när klockorna registrerar ljusblixten så ställs de på samma tid. På detta sätt kan alla par av klockor i ett givet inertialsystem synkroniseras och genom upprepning kan alla klockor i inertialsystemet synkroniseras. Genom att registrera tidskoordinaterna för två händelser kan man avgöra om de sker samtidigt i ett givet inertialsystem. Vi ska nu analysera synkronisering av klockor sett från olika inertialsystem.

[ex3_2] Alice och Bob synkroniserar klockor
(a) Bob synkroniserar två klockor som är i vila i hans inertialsystem. Bob använder en ljussignal som skickas ut mitt mellan klockorna vid tiden \displaystyle t'=0, se figur [fig_samtidighet] (a). Om klockornas viloavstånd är \displaystyle \ell _0 så nås de i vilosystemet av ljussignalen vid tiden \displaystyle t'=\ell _0/(2c). Alice, Bob och alla andra inertiala observatörer är överens om att Bobs klockor båda visar denna tid när ljusblixten träffar klockorna. I Bobs vilosystem är därmed klockorna synkroniserade.
(b) Bobs vilosystem rör sig relativt Alice med hastighet \displaystyle v längs linjen mellan klockorna, se figur [fig_samtidighet] (b). Alice observerar att klocka 1 rör sig mot ljuskällan och 2 rör sig bort från ljuskällan, så att ljuset måste färdas olika långa sträckor och tar därför olika lång tid att nå Bobs klockor i Alices vilosystem. Alice observerar att Bobs klockor båda visar \displaystyle t'=\ell _0/(2c) när ljuset träffar, men klockorna träffas av ljuset vid olika tider i Alices vilosystem. Alices slutsats är därför att Bobs klockor är osynkroniserade.
(c) I figur [fig_samtidighet] (c) rör sig klockorna relativt Alice i riktning vinkelrätt mot linjen mellan klockorna. Då når ljuspulsen klockorna samtidigt och Alice observerar att klockorna är synkroniserade.

[fig_samtidighet]

Exemplet visar att klockor som är synkroniserade i sitt vilosystem är osynkroniserade i inertialsystem som rör sig längs linjen mellan klockorna, men synkroniserade för rörelse vinkelrätt mot denna linje. Relativitetsteorin kan leda till skenbara paradoxer där olika inertiala observatörer inte verkar vara överens om vad som händer. Flera paradoxer kommer att analyseras under kursen och deras upplösning beror på analys av händelserna från de olika observatörernas perspektiv och relativ samtidighet.

Alice och bomb
Alice har en bomb i vila i ett inertialsystem \displaystyle S. Bob är i vila i \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S. Bomben kopplas till en anordning som utlöser explosionen om två händelser sker samtidigt. Om Alice observerar att händelserna sker samtidigt, men Bob observerar att de inte sker samtidigt, sprängs då bomben? I detta exempel behöver vi vara noggranna med förutsättningarna. Låt oss anta att bomben är kopplad till Alices synkroniserade klockor. Bomben smäller om tidskoordinaterna för två händelser i Alices vilosystem sammanfaller, \displaystyle t_1=t_2. På grund av relativ samtidighet kan Bob observera att samma händelser sker vid olika tider, \displaystyle t_1'\ne t_2', men han avläser samma tid som Alice på hennes klockor. Alice och Bob är därför överens om att händelserna sker vid samma tid enligt klockorna i Alices vilosystem. Det är därför ingen paradox att bomben exploderar. Bob konstaterar dock att Alices klockor är osynkroniserade, och det är därför bomben sprängs trots att Bob observerar att händelserna inte är samtidiga. Om utlösningsmekanismen i stället är kopplad till Bobs klockor så kan händelser som är samtidiga i Alices vilosystem ske vid olika tid i Bobs vilosystem, varpå både Alice och Bob är överens om att bomben smäller om händelserna sker vid samma tid enligt klockorna i Bobs vilosystem.

Korrektion för signalfördröjning [sec:korrektionsignal]

Låt oss bestämma vilken tidsskillnad Alice observerar mellan Bobs klockor i exempel [ex3_2]. Tiderna \displaystyle t_1 och \displaystyle t_2 för att träffa klockorna ges av

\displaystyle \begin{aligned} \ell /2-vt_1=ct_1 \quad &\Longrightarrow \quad t_1=\frac{\ell /2}{c+v}, \\ \ell /2+vt_2=ct_2 \quad &\Longrightarrow \quad t_2=\frac{\ell /2}{c-v}.\end{aligned}

Eftersom dessa tider är olika och Alice ser Bobs klockor båda visa samma tid \displaystyle t' när ljusblixten träffar så drar hon slutsatsen att Bobs klockor inte är synkroniserade. Tidsskillnaden som Alice observerar i sitt vilosystem \displaystyle S ges av
\displaystyle \Delta t=t_2-t_1=\frac{\ell /2}{c-v} - \frac{\ell /2}{c+v} = \frac{\ell v/c^2}{1-v^2/c^2}=\gamma^2\ell v/c^2.
Vilken tidsskillnad motsvarar detta i klockornas vilosystem \displaystyle S'? Tidsintervallet genomgår tidsdilatation så att \displaystyle \Delta t=\gamma \Delta t', och avståndet mellan klockorna genomgår längdkontraktion så att \displaystyle \ell =\ell _0/\gamma. Alice observerar därför att Bobs klockor inte är synkroniserade så att den främre klockan går efter med tiden
\displaystyle \Delta t'=\ell _0v/c^2.
Dessa resonemang visar att klockor som är synkroniserade i sitt vilosystem inte är synkroniserade i något annat inertialsystem i rörelse längs linjen mellan klockorna. Händelser som sker samtidigt i ett inertialsystem sker därför inte samtidigt i något annat inertialsystem i relativ rörelse längs händelsernas separationslinje.

Samtidighet och relativistiska effekter

Relativ samtidighet kommer nu att hjälpa oss att förstå de oväntade resultaten tidsdilatation och längdkontraktion som diskuterades i kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Problemet är följande. Båda inertialobservatörerna observerar att den andres klocka går sakta och måttstock längdkontraheras. Detta innebär skenbara motsägelser: om den ena klockan går långsammare eller måttstocken är kortare så borde den andra klockan gå fortare och måttstocken vara längre. För att visa att detta inte innebär en inkonsistens som ger en motsägelse när olika inertialobservatörer jämför sina observationer ska vi studera effekterna från båda observatörernas perspektiv och visa att de stämmer överens på grund av relativ samtidighet.

Samtidighet och tidsdilatation

Relativitetsteorins förutsägelse om tidsdilatationen, det vill säga att en rörlig klocka går sakta, innehåller ett skenbart konsistensproblem. Effekten är symmetrisk, så att från Alices inertialsystem observeras Bobs klocka gå sakta, men samma resonemang från Bobs inertialsystem visar att Alices klocka går sakta. För att undvika en motsägelse måste Alice och Bob vara överens om vad bådas klockor visar när de träffas och jämför. Vi ska nu visa att detta fungerar på grund av relativ samtidighet.

Slutsatsen av resonemanget nedan är följande: Alice och Bob uppfattar båda att den andres klocka går sakta, men detta är ingen motsägelse. De kommer att vara överens om vad bådas klockor visar när de träffas och jämför tider. Eftersom Bob rör sig relativt Alices vilosystem så innehåller en jämförelse av ett tidsintervall en jämförelse av tiden med klockor i Alices vilosystem som är på olika platser. Enligt Alice är klockorna synkroniserade, men inte enligt Bob på grund av relativ samtidighet. Därför kan båda observera att den andres klocka går sakta utan att det blir en motsägelse.

[fig_tidsdilatation]

Alice är i vila i inertialsystemet \displaystyle S och Bob är i vila i \displaystyle S' som har hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S. I \displaystyle S finns två synkroniserade klockor, 1 och 2, på avstånd \displaystyle \ell _0 från varandra, och i \displaystyle S' finns en klocka som synkroniseras med klocka 1 i \displaystyle S när dessa passerar varandra i \displaystyle x=x'=0 vid tiden \displaystyle t=t'=0, se figur [fig_tidsdilatation]. Från \displaystyle S ser Alice att Bobs klocka passerar 2 vid tiden \displaystyle t=\ell _0/v och Bobs klocka har då saktat ned och visar \displaystyle t'=t/\gamma=\ell _0/(\gamma v) på grund av tidsdilatation.

Vad observerar Bob hos Alices klockor? Bob observerar att avståndet mellan Alices klockor längdkontraheras till \displaystyle \ell =\ell _0/\gamma. När Bobs klocka passerar 2 visar Bobs klocka därför \displaystyle t'=\ell /v=\ell _0/(\gamma v). Alltså är Alice och Bob överens om vad Bobs klocka visar när den passerar 2. Men vad visar då klocka 2? Enligt exempel [ex3.1] observerar Bob att Alices klockor inte är synkroniserade och att vid tiden \displaystyle t=t'=0 går klocka 2 tiden \displaystyle \ell _0v/c^2 före klocka 1. Vid \displaystyle t'=\ell _0/(\gamma v) möts klockan i \displaystyle S' och klocka 2, och då har tiden \displaystyle t=\ell /(\gamma v) passerat i \displaystyle S. Klocka 2 visar då
\displaystyle t=\frac{\ell _0v}{c^2} + \frac{\ell }{\gamma v} =\frac{\ell _0v}{c^2} + \frac{\ell _0}{\gamma^2 v} =\frac{\ell _0}{v}.
Alltså observerar båda att den andras klockor går sakta, och båda är överens om att när klockorna möts visar de
\displaystyle t=\frac{\ell _0}{v},\quad t'=\frac{\ell _0}{\gamma v}.
Detta visar hur det går ihop att både Alice och Bob observerar att den andres klocka gå sakta. Det hänger på att i \displaystyle S är Alices klockor synkroniserade, men i Bobs vilosystem \displaystyle S' är de inte det. Slutsatsen är att symmetrin i tidsdilatationseffekten inte leder till motsägelser på grund av relativ samtidighet.

Samtidighet och längdkontraktion

Både Alice och Bob observerar längdkontraktion hos den andres måttstock. Hur kan de vara överens så att en motsägelse undviks? Lösningen ges igen av relativ samtidighet. Längden hos en stav bestäms i ett visst inertialsystem genom en samtidig avläsning av koordinaterna för intervallets ändpunkter. I andra inertialsystem sker en samtidig avläsning av koordinater vid andra tider eftersom klockorna inte är synkroniserade, och det är stavens rörelse mellan dessa tider som kontraherar längden.

[fig_langdkontraktion]

För att reda ut denna observation i detalj behövs alla effekter som diskuterats hittills. Alice har en stav med vilolängd \displaystyle \ell _0 och färdas med konstant hastighet \displaystyle v i förhållande till Bob. Alice mäter stavens längd till \displaystyle \ell _0 och mätningen sker genom en samtidig bestämning av positionen hos ändpunkterna. Bob mäter längden hos Alices stav och får \displaystyle \ell '=\ell _0/\gamma, se figur [fig_langdkontraktion] (a).

Vi ska nu demonstrera att Bobs längdmätning stämmer med observationerna i Alices vilosystem. Antag att Bob har en stav med vilolängden \displaystyle \ell '. Vid \displaystyle t=t'=0 sammanfaller vänstra ändpunkterna hos Alice och Bobs stavar med varandra. Vid denna tid observerar Alice att klockan vid Bobs stavs högra ändpunkt visar \displaystyle t'=-\ell 'v/c^2 enligt formeln för relativ samtidighet, se figur [fig_langdkontraktion] (b). Bob gör sin längdmätning vid tiden \displaystyle t'=0 då stavarnas högra ändpunkter sammanfaller, och för klockan i stavens högra ändpunkt har då tidsintervallet \displaystyle \ell 'v/c^2 passerat, se figur [fig_langdkontraktion] (c). I Alices vilosystem dilateras detta tidsintervall till \displaystyle \gamma \ell 'v/c^2, och längden hos Bobs stav kontraheras till \displaystyle \ell '/\gamma. För att Alices mätning ska stämma med Bobs behöver sträckan \displaystyle v\Delta t = \gamma \ell 'v^2/c^2 som Bobs stav färdas för att stavarnas högra ändpunkter ska sammanfalla plus den kontraherade längden hos Bobs stav \displaystyle \ell '/\gamma ge vilolängden hos Alices stav enligt figur [fig_langdkontraktion] (c). Vi kontrollerar att detta stämmer:
\displaystyle v\Delta t + \ell '/\gamma =\ell _0(v^2/c^2+1/\gamma^2) =\ell _0(v^2/c^2+1-v^2/c^2) = \ell _0.
Alltså är Alice och Bob överens om vad den andres längdmätning ger. Det enda de inte är överens om är vems klockor som är synkroniserade, men det är precis som det ska enligt relativ samtidighet.

Vi har nu visat att tidsdilatation och längdkontraktion kan förstås med hjälp av begreppet relativ samtidighet. Tidsintervall och längdintervall är olika långa när de observeras i rörelse eftersom intervallens ändar observeras vid olika tider än i vilosystemen. Detta leder till frågan om de relativistiska effekterna är verkliga eller bara betyder att den rörliga stavens verkar kortare eftersom ändpunkternas positioner rört sig olika långt på grund av att de observeras vid olika tider. Svaret är ja på båda påståendena. De relativistiska effekterna uppstår på grund av att samtidighet är relativ, men de anger verkligen de längd- och tidsintervall som observatörer i relativ rörelse observerar.

Alice och Bob och längdkontraktion av en glasstav
Alice har en glasstav som i sitt vilosystem \displaystyle S har längden \displaystyle \ell _0. Bob har hastigheten \displaystyle v relativt staven och observerar att den längdkontraheras till \displaystyle \ell '=\ell _0/\gamma. Men en glasstav som komprimeras går sönder. Vad händer? Svaret är att glasstaven inte krossas. Det är bara om staven kontraheras i sitt vilosystem genom påverkan av kompressionskrafter som den krossas. När Bob observerar avståndet mellan stavens ändpunkter vid en tidpunkt, till exempel \displaystyle t'=0, i sitt vilosystem så är staven kontraherad, men i stavens vilosystem är detta olika tidpunkter för stavens ändpunkter. Längdkontraktion kommer inte från kompressionskrafter utan uppstår genom att en samtidig observation av stavens ändpunkter från relativ rörelse motsvarar observation av ändpunkterna vid olika tider i stavens vilosystem.

Sammanfattning:

• Relativ samtidighet innebär att händelser som är samtidiga i ett inertialsystem inte är samtidiga i inertialsystem som rör sig längs linjen mellan händelserna.
• Klockor som synkroniseras i ett inertialsystem är osynkroniserade i andra inertialsystem.
• Tidsdilatationens och längdkontraktionens symmetri, det vill säga att inertialobservatörer i relativ rörelse observerar att rörliga klockor går sakta och måttstockar kontraheras, beror på att intervallen bestäms vid olika tider i olika inertialsystem på grund av relativ samtidighet.

Fler exempel till Del 1

Exempel 1: Rumtidsdiagram och relativ rörelse Alice och Bob kör bil. Alice har hastigheten 10 m/s och Bob kör med 20 m/s relativt vägen. Vid \displaystyle (t,x)=(0,0) sker en omkörning. Rita rumtidsdiagram som visar händelsen från tre olika val av inertialsystem: (a) vägens vilosystem, (b) Alices vilosystem och (c) Bobs vilosystem.

x151px|image

Slutsatsen är att om bilarna rör sig framåt eller bakåt eller är i vila beror på val av inertialsystem. Detta illustrerar att all rörelse är relativ.

Exempel 2: Rumtidsdiagram och acceleration Alice och Bob cyklar. Alice har hastighet \displaystyle 4 m/s och passerar \displaystyle (t,x)=(0,0). Bob startar från stillastående vid \displaystyle (t,x)=(0,3) och accelerar med \displaystyle a=2 m/s\displaystyle ^2. Sker det några omkörningar? Rita rumtidsdiagram från (a) vägens och (b) Alices vilosystem.

Bestäm först tider för omkörning. Rörelserna ges av följande. Alice: \displaystyle x_A=4t. Bob: \displaystyle x_B=t^2+3 eftersom \displaystyle d^2x_B/dt^2=2 och \displaystyle x_B(t=0)=3. Omkörning sker då \displaystyle x_A(t)=x_B(t) dvs \displaystyle t^2-4t+3=(t-1)(t-3)=0 Detta ger två lösningar \displaystyle t_1=1,t_2=3. Vid \displaystyle t_1 kör Alice om Bob. Vid \displaystyle t_2 kör Bob om Alice. I Alices vilosystem ges Bobs position av \displaystyle x=x_B-x_A=t^2-4t+3 och omkörningarna sker vid \displaystyle x=0. Bobs hastighet blir \displaystyle u=dx/dt=2t-4 och acceleration \displaystyle a=du/dt=2. Bobs position i Alices system byter tecken vid omkörningarna. Bobs acceleration är \displaystyle a=2 både i vägens och Alices inertialsystem.

x188px|image

En poäng med detta exempel är att illustrera att till skillnad från hastighet som är relativ så är acceleration absolut. Accelerationen är oberoende av val av inertialsystem och är samma i (a) och (b). Detta uttrycker relativitetsprincipen: Newtons rörelselag \displaystyle F=ma är invariant, dvs samma i alla inertialsystem.

Exempel 3: Raketresa del 1

Christer planerar en resa till den närmaste grannen till vår solsystem, stjärnan Proxima Centauri på ett avstånd av 4 ljusår från jorden. I raketen ryms syre och proviant för en resa som varar i två år. Vilken hastighet behövs för att raketen ska komma fram på den tiden?

Vi räknar först klassiskt. Sträckan är hastigheten gånger tiden: \displaystyle s=vt=4 ljusår. Hastigheten blir \displaystyle v=s/t=4 \mbox{ ljusår}/2 \mbox{ år}=2 ljusår/år \displaystyle =2c, där ljushastigheten \displaystyle c=1 ljusår/år. Alltså blir rakethastigheten dubbla ljushastigheten vilket är omöjligt. Raketen kan inte hinna fram på den utsatta tiden.

Vad säger relativitetsteorin? Observerat från jorden kommer raketklockan att röra sig och därför tidsdilateras rakettiden. I planetsystemet tar resan tiden \displaystyle t=\gamma t' där \displaystyle t'=2 år är restiden enligt raketklockan. Vi kan nu ställa upp och beräkna hastigheten: \displaystyle s=vt=\gamma vt' Dividera med \displaystyle c och kvadrera: \displaystyle (s/c)^2=\frac{(v/c)^2t'^2}{1-(v/c)^2} Lös ut hastigheten: \displaystyle \frac{v}{c}=\frac{1}{\sqrt{1+(ct'/s)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+(2/4)^2}}=0.89 Alltså blir hastigheten \displaystyle v=0.89c som är mindre än ljushastigheten vilket den måste vara. Denna hastighet kan i princip vara möjlig att nå men detta ligger mycket långt från dagens raketprestanda. Hastighetsrekordet (relativt jorden) är \displaystyle 0.00025c och innehas av NASAs rymdfarkost Juno. Notera vidare att enligt planetsystemets klockor tar resan tiden \displaystyle t=s/v=4/0.89=4.5 \mbox{ år}. Se även animeringen av en raketresa där dessa effekter diskuteras.

Exempel 4: Raketresa del 2

Bestäm hastigheten i exemplet ovan genom observationer i raketsystemet. I raketsystemet står raketen stilla och jorden och Proxima Centauri rör sig med hastighet \displaystyle v. Eftersom jorden och stjärnan rör sig i raketsystemet kommer avståndet mellan dom att lorentzkontraheras. Sträckan som jorden och stjärnan färdas i raketsystemet blir \displaystyle s'=s/\gamma där \displaystyle s är avståndet i planetsystemet. Hastigheten fås genom \displaystyle s'=s/\gamma=vt Detta ger \displaystyle (s/c)(1-(v/c)^2)=(v/c)t Lös ut hastigheten: \displaystyle \frac{v}{c}=\frac{1}{\sqrt{1+(ct'/s)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+(2/4)^2}}=0.89 Detta är samma svar som i exemplet ovan. Hastigheten är alltså samma observerat från båda systemen, men skillnaden är vad som rör sig: raketen eller jorden och stjärnan.

Exempel 5: Relativ samtidighet

I Alices vilosystem finns två synkroniserade klockor i vila på avståndet \displaystyle l_0=100 km från varandra. Bob flyger förbi och observerar tidsskillnaden \displaystyle \Delta t'=2 nanosekunder mellan klockorna. Hur fort flyger Bob och vilket avstånd observerar han mellan klockorna?

Tidsskillnaden som Bob observerar ges enligt formeln för tidsfördröjning hos relativ samtidighet av \displaystyle \Delta t'=\frac{l_0 v}{c^2} Lös ut hastigheten: \displaystyle v=\frac{c^2\Delta t'}{l_0} =\frac{(3.0 \cdot 10^8)^2 \cdot 2.0 \cdot 10^{-9}}{1.0\cdot 10^5} =1800 \mbox{ m/s} =6500 \mbox{ km/h} Denna hastighet ligger nära det verkliga hastighetsrekordet för jetplan. Avståndet som Bob observerar är längdkontraherat till \displaystyle l=l_0/\gamma=\sqrt{1-(v/c)^2} l_0=99.999999998 \mbox{ km} Skillnaden gentemot vilolängden är mindre än diametern hos ett hårstrå (ca 60 \displaystyle \mum).

Rumtid och relativistiska effekter

Lorentztransformationer

Läromål:

• Känna till och tillämpa lorentztransformationen, som beskriver hur rums- och tidskoordinaterna i olika inertialsystem relateras till varandra.
• Använda rumtidsdiagram inom speciell relativitetsteori och känna till hur dessa skiljer sig från de klassiska rumtidsdiagrammen.
• Känna till och använda den relativistiska hastighetsadditionsformeln för att relatera ett objekts hastighet i olika inertialsystem med varandra.

Liksom galileitransformationen relaterar koordinater i olika inertialsystem inom klassisk mekanik kan vi i speciell relativitetsteori hitta en transformation som fyller samma uppgift. Denna nya transformation kallas för lorentztransformationen[def:lorentztransformation] och kommer att relatera tids- och rumskoordinaterna för en händelse i olika inertialsystem. Som vi kommer att visa på ett par olika sätt i detta kapitel ges dessa av
\displaystyle \label{eq:lorentztransformation} \boxed{ct' = \gamma \left( ct - \frac{v}{c}x\right), \quad x' = \gamma \left( x - \frac{v}{c} ct \right).}
Vi har här låtit bli att förkorta bort ljushastigheten i den sista termen eftersom detta gör det lättare att se att lorentztransformationen är symmetrisk då vi byter ut \displaystyle ct \leftrightarrow x samt \displaystyle ct' \leftrightarrow x'. Det bör nämnas att två händelser definitionsmässigt är samtidiga i ett inertialsystem om de har samma tidskoordinat, men från lorentztransformationen ser vi genast att två händelser med samma tidskoordinat \displaystyle t i \displaystyle S har samma tidskoordinat \displaystyle t' i \displaystyle S' enbart om de även har samma rumskoordinat \displaystyle x, det vill säga om de är samma händelse. Vi kommer också att diskutera hur konstruktionen av rumtidsdiagram skiljer sig från motsvarande konstruktion inom klassisk mekanik och hur lorentztransformationen påverkar hur hastigheter adderas till varandra. Låt oss börja med ett par exempel på hur lorentztransformationen kan användas för att relatera koordinaterna för en händelse i olika inertialsystem.

En supernova
I jordens inertialsystem \displaystyle S exploderar en stjärna i en supernova 10000 ljusår bort. Om vi skulle ta emot ljuset från explosionen idag och använda tidskoordinaten \displaystyle t = 0 för dagens datum kan vi dra slutsatsen att supernovan är en händelse som inträffade vid rumtidskoordinaterna \displaystyle x = 10000 ljusår och \displaystyle t = - 10000 år. Bob flyger förbi jorden med konstant relativ hastighet \displaystyle v = 0.9c i supernovans riktning. För att veta var och när supernovan inträffat i Bobs inertialsystem \displaystyle S' kan vi använda oss av lorentztransformationen

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \frac{1}{\sqrt{1-0.9^2}} \left(-10000 - 0.9 \cdot 10000\right) \approx - 44000~\mbox{år}, \\ x' &= \frac{1}{\sqrt{1-0.9^2}} \left(10000 - 0.9 \cdot (-10000)\right) \approx 44000~\mbox{ljusår}.\end{aligned}

I Bobs inertialsystem inträffade således supernovan för ungefär 44000 år sedan och på ett avstånd av ungefär 44000 ljusår. Notera att även i Bobs system har ljuset färdats med en hastighet på 1 ljusår/år som sig bör.

Vid väldigt små hastigheter \displaystyle v \ll c noterar vi även att lorentzfaktorn
\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx 1.
Om dessutom avstånden är små \displaystyle x \ll ct gäller därför att

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \approx t - \frac{v}{c}\frac{x}{c} \approx t, \\ x' &= \gamma(x-vt) \approx x-vt.\end{aligned}

För dessa specialfall approximeras lorentztransformationen därför mycket väl av galileitransformationen.

Alice, Bob, trafikljuset och lorentztransformationen
Alice ser ett stoppljus slå om från grönt till rött 100 m bort vilket innebär att det slog om för ungefär \displaystyle 3\cdot 10^{-7} s sedan. Alice tilldelar därför händelsen koordinaterna \displaystyle t = - 3\cdot 10^{-7} s och \displaystyle x = 100 m. Bob kommer körande mot stoppljuset med hastigheten \displaystyle v = 70 km/h \displaystyle \approx 20 m/s relativt Alice. Lorentztransformationen till Bobs inertialsystem ges nu av

\displaystyle \begin{aligned} t' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{20^2}{299792458^2}}} \left(- 3\cdot 10^{-7} - \frac{20}{299792458^2} 100\right) \approx -3 \cdot 10^{-7}~\mbox{s}, \\ x' &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{20^2}{299792458^2}}} (100 - 20 \cdot (-3\cdot 10^{-7})) \approx 100~\mbox{m}.\end{aligned}

De relativistiska korrektionerna till galileitransformationen är här så små att avståndet till stoppljuset skulle behöva mätas med en noggrannhet på 1 m för att de skulle vara möjliga att uppfatta. Hastigheten och tidsskillnaderna skulle också behöva mätas med motsvarande noggrannhet.

Härledning ur tidsdilatation och längdkontraktion

I kapitel [[#ch:ljushastigheten|]] härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion
\displaystyle t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\gamma},
där \displaystyle \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}, och vi har förutsatt att tidskoordinaten \displaystyle t' och vilolängden \displaystyle \ell_0 refererar till inertialsystemet \displaystyle S' där ett objekt befinner sig i vila. Vi ska nu använda oss av dessa begrepp för att resonera oss fram till hur tids- och rumskoordinaterna i olika inertialsystem måste vara relaterade till varandra. Låt oss studera en stav med vilolängden \displaystyle \ell_0 som är i vila i \displaystyle S' men som rör sig med hastigheten \displaystyle v i inertialsystemet \displaystyle S. Vi använder oss av ett koordinatsystem sådant att stavens bakre ände passerar \displaystyle x = 0 vid tiden \displaystyle t = 0 i \displaystyle S, se figur [fig:lorentztransformation1].

I systemet \displaystyle S' där staven är i vila kommer dess främre ände alltid ha den konstanta rumskoordinaten \displaystyle x' = \ell_0. Samtidigt vet vi att den främre änden i systemet \displaystyle S beskrivs av världslinjen
\displaystyle x = vt + \ell = vt + \frac{\ell_0}{\gamma} = vt + \frac{x'}{\gamma}
eftersom staven i detta system har en längd \displaystyle \ell = \ell_0/\gamma och rör sig med en hastighet \displaystyle v. Om vi löser ut \displaystyle x' ur detta samband finner vi att
\displaystyle x' = \gamma(x-vt).
Detta påminner väldigt starkt om galileitransformationens \displaystyle x' = x - vt fast med tillägget av lorentzfaktorn.

För att se hur tidskoordinaten \displaystyle t' i \displaystyle S' relateras till koordinaterna \displaystyle t och \displaystyle x i \displaystyle S börjar vi med att studera händelser som inträffar vid \displaystyle x = 0. För dessa händelser vet vi att \displaystyle t' = 0 när \displaystyle t = 0 och att tiden \displaystyle t allmänt sett är tidsdilaterad relativt \displaystyle t', det vill säga \displaystyle t' = \gamma t. Om vi i stället tar en händelse med en nollskild \displaystyle x-koordinat vet vi efter diskussionen i kapitel [[#ch:relativsamtidighet|]] att denna i \displaystyle S' är samtidig med händelsen som inträffar i origo i \displaystyle S vid tiden \displaystyle t - vx/c^2, vilket alltså motsvarar
\displaystyle t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right).
Tillsammans med transformationsregeln för rumskoordinaten bildar detta samband lorentztransformationen
\displaystyle t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad x' = \gamma (x - vt).
Multipliceras den första av de här ekvationerna med \displaystyle c återfås transformationen på samma form som i ekvation [eq:lorentztransformation]. Det bör noteras att begreppet relativ samtidighet här blir uppenbart.

En konsekvens av ljushastighetens invarians

Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet att ljushastigheten måste vara invariant. En ljussignal från koordinaterna \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0 i inertialsystemet \displaystyle S följer någon av världslinjerna \displaystyle x = \pm ct, vilket i ett annat inertialsystem \displaystyle S' kan uttryckas \displaystyle x' = \pm ct' då ljushastigheten är invariant. Dessa samband är lösningarna till
\displaystyle \label{eq:ljusintervall} c^2t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2 = 0
som därför sammanfattar kraven för en ljussignal oberoende av vilken riktning den rör sig i. Vi kan härleda lorentztransformationen genom att anta att sambandet
\displaystyle \label{eq:linjeelement} c^2 t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2
måste gälla för alla händelser, inte bara dem som ljussignalen från origo passerar. Om detta ger tillräcklig information för att helt bestämma lorentztransformationen kommer ekvation [eq:ljusintervall] automatiskt att vara uppfylld.

Vi vill nu hitta den transformation som uppfyller sambandet samtidigt som \displaystyle x' = 0 är ekvivalent med \displaystyle x = vt, det vill säga att origo för \displaystyle S' rör sig med en hastighet \displaystyle v i \displaystyle S, och vi ansätter därför

\displaystyle \begin{aligned} ct' &= c\alpha t + \beta x, \\ x' &= c\lambda t + \mu x,\end{aligned}

där \displaystyle \alpha, \displaystyle \beta, \displaystyle \lambda och \displaystyle \mu är konstanter vi vill bestämma. Vi kräver att \displaystyle \alpha > 0 för att tiden \displaystyle t' ska öka om \displaystyle t gör det samt att \displaystyle \mu > 0 för att koordinaten \displaystyle x' ska öka om \displaystyle x gör det (i båda fallen med \displaystyle x respektive \displaystyle t konstant). Genom att kvadrera dessa ekvationer och sätta in resultaten i ekvation [eq:linjeelement] fås
\displaystyle c^2 t^2(\alpha^2 - \lambda^2) + 2c(\alpha\beta - \lambda\mu) tx - x^2 (\mu^2 - \beta^2) = c^2 t^2 - x^2.
För att detta ska vara uppfyllt för alla möjliga \displaystyle t och \displaystyle x erhålls ekvationssystemet

\displaystyle \begin{aligned} \alpha^2 - \lambda^2 &= 1, \\ \mu^2 - \beta^2 &= 1, \\ \alpha\beta &= \lambda\mu.\end{aligned}

Ur de första två ekvationerna erhålls
\displaystyle \alpha = \sqrt{1+\lambda^2} \quad \mbox{och} \quad \mu = \sqrt{1+\beta^2}
vilket insatt i den tredje leder till
\displaystyle \frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}
som är uppfyllt enbart då \displaystyle \beta = \lambda. Kravet att \displaystyle x' = 0 om \displaystyle x = vt ger dessutom
\displaystyle 0 = \lambda ct + \mu vt \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \beta = -\frac vc \mu.
Insatt i de ursprungliga ekvationerna hittar vi nu lösningen

\displaystyle \begin{aligned} \mu^2 - \frac{v^2}{c^2}\mu^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \mu = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= \gamma, \\ \lambda = \beta = -\frac{v}{c}\mu &= \frac{-v}{c} \gamma, \\ \alpha = \sqrt{1+\lambda^2} = \sqrt{1+\frac{v^2}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})}} &= \gamma.\end{aligned}

Jämför vi detta resultat med den ursprungliga ansatsen ser vi nu att
\displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - \frac{v}{c}ct\right).
Som väntat är detta lorentztransformationen given i ekvation [eq:lorentztransformation].

Minkowskidiagram

I kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]] diskuterade vi hur vi kan skapa oss en bild av rumtiden genom att rita rumtidsdiagram. Detta går också mycket bra att göra även inom speciell relativitetsteori, men det är vanligt att i stället för \displaystyle t på den vertikala axeln använda sig av \displaystyle ct. Ett rumtidsdiagram som konstrueras på detta sätt kallas för ett minkowskidiagram[def:minkowskidiagram] och i stället för att ha lutningen \displaystyle 1/v kommer en världslinje som motsvarar ett objekt som rör sig med hastigheten \displaystyle v att ha lutningen \displaystyle c/v. Detta kan ses genom att studera ett objekt i likformig rörelse \displaystyle x = vt+x_0. För detta objekt gäller att
\displaystyle ct = c\frac{x-x_0}{v} = \frac{c}{v} (x-x_0).
Speciellt gäller att världslinjen för en ljussignal, som rör sig med hastigheten \displaystyle \pm c, där tecknet beror på signalens riktning, alltid kommer att ha lutningen \displaystyle \pm 1, se figur [fig:mdiagramvlinj].

I kapitel [[#ch:relativistiskkinematik|]] kommer vi visa att alla objekt med massa måste röra sig med hastigheter \displaystyle v sådana att \displaystyle |v| < c samt att masslösa objekt alltid rör sig med ljushastigheten \displaystyle |v| = c. Ur detta följer att inga världslinjer med en lutning mindre än ett får förekomma.

Jämförelse av koordinatsystem

Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar vårt minkowskidiagram på eftersom alla minkowskidiagram kommer att beskriva samma rumtid, om än på olika sätt. Låt oss nu jämföra minkowskidiagrammen från olika inertialsystem och diskutera ett antal grundläggande begrepp inom speciell relativitetsteori med deras hjälp.

Vi börjar med att diskutera hur koordinataxlarna för inertialsystemet \displaystyle S' beskrivs i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet \displaystyle S. Tidsaxeln i \displaystyle S' är den linje för vilken \displaystyle x' = 0. Om \displaystyle S' rör sig med hastigheten \displaystyle v i förhållande till \displaystyle S innebär detta att tidsaxeln beskrivs av
\displaystyle x' = \gamma(x-vt) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x,
det vill säga en linje från origo med lutningen \displaystyle c/v. Detta är helt konsekvent med hur tidsaxeln ändrades genom galileitransformationen. När vi i stället tittar på hur rumsaxeln i \displaystyle S' beskrivs i \displaystyle S vet vi på samma sätt att denna beskrivs av \displaystyle t' = 0 och därför
\displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac vc x\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c} x.
Detta innebär att \displaystyle x'-axeln i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet \displaystyle S beskrivs av en linje genom origo med lutningen \displaystyle v/c, se figur [fig:mdiagramaxlar].

Att \displaystyle x'-axeln skiljer sig ifrån \displaystyle x-axeln är en fundamental skillnad jämfört med rumtidsdiagrammen som baserades på galileitransformationen, där dessa alltid sammanföll.

Samma plats och samma tid

Om två händelser inträffar på samma position i ett inertialsystem \displaystyle S gäller det per definition att de har samma rumskoordinat \displaystyle x=x_0. Detta innebär att om vi vill beskriva alla händelser som inträffar vid denna position i \displaystyle S så beskrivs dessa av en vertikal positionslinje[def:positionslinje] i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S. På motsvarande sätt gäller att samtidiga händelser i \displaystyle S per definition har samma tidskoordinat \displaystyle t = t_0 och därmed beskrivs alla dessa med en horisontell samtidighetslinje[def:samtidighetslinje] i minkowskidiagrammet, se figur [fig:samtidighet].

På samma sätt som vi ritade ut koordinataxlarna till inertialsystemet \displaystyle S' i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S kan vi rita ut positions- och samtidighetslinjerna som tillhör \displaystyle S' i samma minkowskidiagram. För positionslinjerna i \displaystyle S' ska det gälla att de motsvarar samma \displaystyle x'-koordinat och om vi sätter \displaystyle x' = x_0' erhålls från lorentztransformationen
\displaystyle x_0' = \gamma (x - vt) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x - \frac{cx_0'}{v\gamma}.
Positionslinjen tillhörandes \displaystyle S' beskrivs således av en linje med lutningen \displaystyle c/v i minkowskidiagrammet baserat på \displaystyle S, det vill säga en linje som är parallell med tidsaxeln i \displaystyle S'. För samtidighetslinjen motsvarande \displaystyle t' = t_0' fås
\displaystyle ct_0' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c} x\right) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c}x + \frac{ct_0'}{\gamma},
det vill säga en linje med lutningen \displaystyle v/c som därmed är parallell med \displaystyle x'-axeln, se figur [fig:samtidighetSprim].

Vi noterar här speciellt att samtidighetslinjer för \displaystyle S och samtidighetslinjer för \displaystyle S' har olika lutning i minkowskidiagrammet. Detta är en direkt grafisk representation av relativ samtidighet då två händelser som ligger på en samtidighetslinje i \displaystyle S inte kommer ligga på en samtidighetslinje i \displaystyle S' och vice versa.

Klassiska gränsen

Vi kan också studera den klassiska gränsen i vilken lorentztransformationen övergår i galileitransformationen. Vi gör detta genom att gå tillbaka till ett rumtidsdiagram där vi på tidsaxeln anger \displaystyle t i stället för \displaystyle ct. I ett sådant rumtidsdiagram får positionslinjerna för \displaystyle S' i stället lutningen \displaystyle 1/v och samtidighetslinjerna lutningen \displaystyle v/c^2. I figur [fig:lorentztogalilei] visas hur positionslinjerna och samtidighetslinjerna ändras när vi stegvis minskar \displaystyle v/c till dess att \displaystyle v = c/7.

Vi ser att även om positionslinjerna är oförändrade ändras samtidighetslinjerna för \displaystyle S' tills de blir i stort sett parallella med samtidighetslinjerna i \displaystyle S och vi återfår därför både galileitransformationen och den absoluta samtidigheten i gränsen då ljushastigheten \displaystyle c kan anses vara mycket stor.

Hastighetsaddition

När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet \displaystyle u = u' + v, där \displaystyle u är hastigheten i inertialsystemet \displaystyle S, \displaystyle u' är hastigheten i inertialsystemet \displaystyle S' och \displaystyle v är hastigheten för \displaystyle S' relativt \displaystyle S. Låt oss nu göra motsvarande betraktelse i det relativistiska fallet. Precis som i fallet med klassisk mekanik (se avsnitt 3) antar vi att Bob kastar en boll som i hans eget inertialsystem \displaystyle S' kan beskrivas av ekvationen
\displaystyle x' = u't' + x_0' = \frac{u'}{c} \gamma \left(ct - \frac{v}{c} x\right) + x_0' = \gamma(x-vt),
där vi har använt oss av lorentztransformationens båda samband för att erhålla en relation mellan \displaystyle x och \displaystyle t i Alices inertialsystem \displaystyle S. Om vi löser ut \displaystyle x ur detta som funktion av \displaystyle t erhålls
\displaystyle x = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}} t + \frac{x_0'}{\gamma\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)} \equiv ut + x_0.
Med andra ord kommer bollen i \displaystyle S att ha hastigheten
\displaystyle u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.
Detta är formeln för relativistisk hastighetsaddition[def:relativistiskhastighetsaddition]. Notera dock att vi här förutsatt att rörelsen sker enbart i samma riktning som den relativa rörelsen mellan inertialsystemen. I det mer allmänna fallet, då bollen även har en hastighetskomponent ortogonalt mot inertialsystemens relativa hastighet, blir sambandet aningen mer komplicerat.

Alice, Bob och relativistisk hastighetsaddition
Låt oss återgå till de exempel vi såg i början av kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Alice färdas med ett tåg som har hastighet 1 m/s i förhållande till Bob som observerar tåget från marken och Alice kastar en boll med hastigheten 1 m/s relativt henne själv i tågets färdriktning. I Bobs inertialsystem får då bollen hastigheten
\displaystyle u = \frac{1~\mbox{m/s} + 1~\mbox{m/s}}{1 + \left(\frac{1}{299792458}\right)^2} \approx 1.99999999999999998~\mbox{m/s}.
Numeriskt är detta värde så nära 2 m/s att den första korrektionen till den klassiska hastighetsadditionsformeln \displaystyle u = u'+v kommer i den sjuttonde decimalen. Detta är därför fullkomligt försumbart i vardagssituationer.

Alice och Bob adderar hastigheter i rymden
Om Alice byter ut tåget mot ett rymdskepp som färdas med hastigheten \displaystyle v = 0.9999c i Bobs inertialsystem och i stället skickar ut en ljusstråle i skeppets färdriktning kommer denna i Alices vilosystem att röra sig med hastigheten \displaystyle u' = c. I Bobs vilosystem får vi då enligt hastighetsadditionsformeln
\displaystyle u = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c,
det vill säga ljusstrålen rör sig även med hastigheten \displaystyle c i Bobs inertialsystem. Detta är givetvis inte särskilt förvånande eftersom den relativistiska hastighetsadditionsformeln konstruerades just för att ljushastigheten ska vara densamma i alla inertialsystem.

Sammanfattning:

• I speciell relativitetsteori ersätts galileitransformationen med lorentztransformationen \displaystyle ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - vt\right) vilken beskriver hur koordinaterna i olika inertialsystem relaterar till varandra.
• Lorentztransformationen kan härledas antingen från tidsdilatation och längdkontraktion eller direkt från ljushastighetens invarians.
• Rumtidsdiagram i speciell relativitetsteori använder ofta variabeln \displaystyle ct på den vertikala axeln och kallas för minkowskidiagram. Följande gäller:
  • Världslinjer har lutningen \displaystyle c/v där \displaystyle v är objektets hastighet. Speciellt har världslinjer som beskriver ljussignaler lutningen \displaystyle \pm 1.
  • Positionslinjer motsvarar händelser med samma rumskoordinat. Samtidighetslinjer motsvarar händelser med samma tidskoordinat. Positions- och samtidighetslinjerna för det inertialsystem \displaystyle S som minkowskidiagrammet baserats på är vertikala respektive horisontella.
  • Positionslinjer för ett annat system \displaystyle S' har lutningen \displaystyle c/v där \displaystyle v är den relativa hastigheten mellan \displaystyle S och \displaystyle S'. Samtidighetslinjerna för \displaystyle S' har lutningen \displaystyle v/c.
• Den relativistiska formeln för hastighetsaddition är \displaystyle u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.

Ljuskonen

Läromål:

• Förstå varför de klassiska fram- och dåtidsbegreppen inom speciell relativitetsteori blir inertialsystemsberoende.
• Givet två händelser kunna avgöra om den ena inträffar efter den andra oberoende av inertialsystemet.
• Med hjälp av ljuskonsbegreppet kunna dela in rumtiden i framtid, dåtid och rumslikt separerade händelser.

Att samtidighet inom relativitetsteori är relativ och inte absolut leder till att vi måste revidera vår begreppsvärld kring vad som tillhör framtiden och vad som tillhör det förgångna. Vi kommer därför nu att gå igenom hur den gängse bilden av dåtid, nutid och framtid måste ändras för att vara väldefinierad och densamma i alla inertialsystem.

Framtid och dåtid för olika observatörer

Betrakta en händelse \displaystyle E, som vi kan anta ha tidskoordinaten \displaystyle t_E = 0 och rumskoordinaten \displaystyle x_E = 0. Vi har redan sett att vilka händelser som är samtidiga med \displaystyle E beror på vilket inertialsystem vi betraktar. Den mest bekanta definitionen av att en händelse \displaystyle A ligger i framtiden[def:klassiskframtid] till \displaystyle E är att tidskoordinaten för \displaystyle A är större än tidskoordinaten för \displaystyle E, det vill säga

\displaystyle t_A > t_E = 0.
På samma sätt skulle vi kunna säga att \displaystyle A ligger i dåtiden[def:klassiskdatid] till \displaystyle E om
\displaystyle t_A < t_E = 0.

På grund av den relativa samtidigheten blir denna definition beroende på vilket inertialsystem vi betraktar, se figur [fig:framdatid].

Då samtidighetslinjerna i systemen \displaystyle S och \displaystyle S' inte är parallella finns det en mängd händelser som i \displaystyle S ligger i framtiden till \displaystyle E men som i \displaystyle S' tillhör dåtiden till \displaystyle E.

Låt oss studera precis vilka händelser som berörs av denna tvetydighet. Om vi lorentztransformerar händelsen \displaystyle As koordinater till inertialsystemet \displaystyle S', som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S, erhålls
\displaystyle c t'_A = \gamma \left(c t_A - \frac{v}{c} x_A\right).
Om vi antar att \displaystyle t_A > 0 så att \displaystyle A ligger i \displaystyle Es framtid i \displaystyle S samt att \displaystyle v > 0 så fås villkoret
\displaystyle t'_A = t_A - \frac{vx_A}{c^2} > t_A - \frac{x_A}{c} \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad ct_A \geq x_A
för att \displaystyle A ska ligga i \displaystyle Es framtid också i \displaystyle S' då \displaystyle v är positivt. Är \displaystyle v i stället negativt erhålls \displaystyle ct_A \geq -x_A. Båda dessa villkor kan sammanfattas i villkoret
\displaystyle c^2 t_A^2 - x_A^2 \geq 0,
vilket tillsammans med \displaystyle t_A > 0 är kravet för att \displaystyle A ska ligga i framtiden till \displaystyle E i alla inertialsystem. På exakt samma sätt kan vi komma fram till att villkoret för att \displaystyle A alltid ska ligga i dåtiden till \displaystyle E är detsamma, fast med förändringen att \displaystyle t_A < 0 i stället för \displaystyle t_A > 0.

Vi kan även förstå dessa argument baserat på ett minkowskidiagram, se figur [fig:framdatidmod].

I det föregående kapitlet kom vi fram till att lutningen på en samtidighetslinje är \displaystyle v/c och därmed alltid kommer att vara mindre än ett. Om händelsen \displaystyle A ligger ovanför linjerna \displaystyle x = ct och \displaystyle x = -ct finns det därför ingen samtidighetslinje sådan att \displaystyle A ligger under den och därför inträffar \displaystyle A senare än \displaystyle E i alla inertialsystem. Det går även att argumentera i den andra riktningen. Om \displaystyle A ligger under någon av linjerna \displaystyle x = ct och \displaystyle x=-ct så existerar en samtidighetslinje för något inertialsystem som \displaystyle A ligger under och därmed inträffar \displaystyle A innan \displaystyle E i det systemet. Likaså existerar det alltid i detta fall ett inertialsystem där \displaystyle A och \displaystyle E inträffar samtidigt[def:samtid].

Två supernovor
Vi ska applicera kraven ovan för två specifika händelser för att se om det existerar något inertialsystem där de inträffar samtidigt. Antag att ljuset från två supernovor når jorden samtidigt och att dessa är belägna i diametralt motsatta riktningar på avstånden 50000 ljusår respektive 100000 ljusår. Efter att vi tagit hänsyn till ljusets ändliga hastighet kan vi därför komma fram till att den mer närbelägna supernovan skedde 50000 år efter den andra. Vi kan här kalla händelsen att den första supernovan exploderade för \displaystyle E och införa ett koordinatsystem sådant att \displaystyle x_E=0 och \displaystyle t_E=0 motsvarar platsen och tiden för supernovan som skett 100000 ljusår bort. Den andra supernovan kan då tilldelas händelsen \displaystyle A för vilken \displaystyle t = 50000 år och \displaystyle x = 150000 ljusår. Vi får därför att
\displaystyle c^2 t_A^2 - x_A^2 = (50000^2 - 150000^2)~\mbox{ljusår}^2 < 0
och därmed kommer det att existera ett inertialsystem för vilket supernova \displaystyle A inträffar innan supernova \displaystyle E. Speciellt gäller att
\displaystyle t'_A = \gamma\left(50000 - \frac{v}{c}150000\right)~\mbox{år} = 0
om \displaystyle v = c/3. I inertialsystemet som rör sig med \displaystyle v = c/3 i riktningen mot supernova \displaystyle A inträffar därför båda supernovorna samtidigt.

Att påverka och påverkas

När vi i kapitel [[#ch:relativistiskkinematik|]] kommer att diskutera relativistisk kinematik är det i speciell relativitetsteori omöjligt för ett objekt att färdas snabbare än ljushastigheten \displaystyle c. Om Alice och Bob är i relativ vila ett avstånd \displaystyle \ell ifrån varandra tar det ett meddelande minst tiden \displaystyle \ell/c att färdas mellan dem. Händelsen då Alice skickar ett meddelandet kan vi kalla för \displaystyle E och kan enbart påverka andra händelser om det hinner fram i tid. Om meddelandet är i formen av en ljussignal och för en given händelse \displaystyle A som ges av dess \displaystyle t- och \displaystyle x-koordinater har meddelandet nått fram i tid för att påverka den om
\displaystyle |x_A| \leq ct_A \quad \Longleftrightarrow \quad c^2 t_A^2 - x_A^2 \geq 0
och \displaystyle t_A > 0, där vi har satt koordinaterna för \displaystyle E till \displaystyle x_E = ct_E = 0. För alla andra händelser är det omöjligt för signalen att hinna komma fram i tid för att påverka händelsen, även om signalen redan skickats iväg. Detta krav är precis det krav vi kom fram till för att \displaystyle A ska inträffa senare än \displaystyle E i alla inertialsystem.

På precis samma sätt kan vi argumentera för att händelsen \displaystyle E enbart kan påverkas av en annan händelse \displaystyle B om en signal från \displaystyle B kan nå fram till \displaystyle x = 0 innan tiden \displaystyle t=0, vilket är ekvivalent med
\displaystyle c^2 t_B^2 - x_B^2 \geq 0 \quad \mbox{och} \quad t_B < 0.
Detta är i sin tur precis samma krav som vi var tvungna att ställa på \displaystyle B för att vara säkra på att \displaystyle B inträffar innan \displaystyle E i alla inertialsystem. Detta är illustrerat i ett minkowskidiagram i figur [fig:affecting].

De händelser en signal från \displaystyle E som färdas med ljushastigheten precis hinner fram till kallas för den framtida ljuskonen[def:ljuskon] till \displaystyle E. På motsvarande sätt kallas de händelser från vilka en ljussignal precis hinner fram till \displaystyle E för den dåtida ljuskonen till \displaystyle E.

En händelses framtid och dåtid

Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är de händelser som har en större tidskoordinat blir framtiden beroende på vilket inertialsystem vi betraktar och dessutom kan inte händelsen påverka alla framtida händelser. Vi vill därför införa ett nytt framtidsbegrepp som dels är oberoende av vilket inertialsystem som används och dels är sådant att alla framtida händelser till händelsen \displaystyle E kan påverkas av \displaystyle E. Lyckligtvis har vi sett att båda dessa två krav kan uppfyllas genom att definiera framtiden och dåtiden till \displaystyle E enligt:

Framtiden[def:framtidrelativistisk] till händelsen \displaystyle E (given av \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0) är de händelser som kan påverkas av \displaystyle E. Dåtiden[def:datidrelativistisk] till \displaystyle E är de händelser som kan påverka \displaystyle E.

I enlighet med vår diskussion tidigare i detta avsnitt uppfyller både framtida och dåtida händelser till \displaystyle E sambandet
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 \geq 0,
men för framtida händelser gäller dessutom att \displaystyle t > 0 och för dåtida att \displaystyle t < 0. Detta samband kan enkelt generaliseras även till flera rumsdimensioner där vi i stället erhåller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad c^2 t^2 \geq x^2 + y^2 + z^2
i fallet med tre rumsdimensioner. Händelserna som en ljussignal precis kan nå fram till uppfyller här likheten och detta samband är då det matematiska uttrycket för en kon, därav benämningen ljuskon, se figur [fig:ljuskon2D].

Det bör här noteras att vi tills nu förutsatt att händelsen \displaystyle E ligger i origo \displaystyle t = 0 och \displaystyle x = 0. Det finns inget som hindrar oss att genomgå precis samma argumentation för vilken händelse som helst. Den enda förändringen som behöver göras är att i stället för koordinaterna \displaystyle t_A och \displaystyle x_A för en annan händelse \displaystyle A studera koordinatdifferenserna \displaystyle \Delta t = t_A-t_E och \displaystyle \Delta x = x_A-x_E.

Rumslik separation [sec:rumslikseparation]

Inom klassisk mekanik kunde vi givet en specifik händelse \displaystyle E dela upp hela rumtiden i tre olika kategorier: händelser som är framtiden, dåtiden och samtiden till \displaystyle E, beroende på händelsernas tidskoordinat. Med de nya fram- och dåtidsbegreppen är samtiden inte längre tillräcklig för att täcka in hela rumtiden tillsammans med dessa. Dessutom är som vi redan har sett även samtiden relativ och inertialsystemsberoende. För att komma till bukt med detta inför vi ett nytt begrepp för de händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 < 0
och säger att dessa är rumslikt separerade[def:rumslikseparation] från \displaystyle E, se figur [fig:ljuskonfancy], då separationen i rummet är större än separationen i tiden.

Per definition är detta de händelser som vare sig kan påverkas av eller påverka händelsen \displaystyle E. Tillsammans med de nya fram- och dåtidsbegreppen utgör de från \displaystyle E rumslikt separerade händelserna hela rumtiden på samma sätt som framtid, dåtid och samtid utgör hela rumtiden inom klassisk mekanik. Det är också vanligt att kalla händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 = 0
för ljuslikt separerade[def:ljuslikseparation], eftersom de ligger på en världslinje för en ljussignal, och händelser som uppfyller
\displaystyle c^2 t^2 - x^2 > 0
för tidslikt separerade[def:tidslikseparation], eftersom tidsseparationen är större än rumsseparationen.

Samtidighet på jorden
Jordens diameter är ungefär 12000 km. Studerar vi en händelse här och en på andra sidan jorden så fås därför att avståndet mellan dessa är \displaystyle \Delta x \approx 12\cdot 10^6 m. För att händelserna ska vara rumslikt separerade krävs därför att
\displaystyle c^2 \Delta t^2 < 144\cdot 10^{12}~\mbox{m}^2.
Detta motsvarar
\displaystyle |\Delta t| < \frac{12 \cdot 10^6~\mbox{m}}{c} \approx 0.04~\mbox{s}.
För att två händelser på jorden ska vara rumslikt separerade kan tidsskillnaden (i jordens vilosystem) därför vara maximalt 40 ms. Inträffar händelserna inom en kortare tidsram finns det ingen möjlighet för dem att påverka varandra.

Ljuskonerna för två händelser

Om vi har två händelser \displaystyle E_1 och \displaystyle E_2 kan vi diskutera hur framtiden, dåtiden och rumslik separation ter sig för dessa. Det finns här två alternativ, antingen är \displaystyle E_1 och \displaystyle E_2 rumslikt separerade eller så ligger den ena händelsen (exempelvis \displaystyle E_2) i den andra händelsens (det vill säga \displaystyle E_1s) framtid. I fallet då händelserna är rumslikt separerade kommer vi att ha en situation som beskrivs till höger i figur [fig:framdatidflera].

På grund av den rumslika separationen kommer det att finnas inertialsystem i vilka \displaystyle E_1 inträffar innan \displaystyle E_2 och vice versa. Det kommer att finnas händelser som är framtida till både \displaystyle E_1 och \displaystyle E_2 samt händelser som är dåtida till \displaystyle E_1 och \displaystyle E_2, men det finns även en mängd händelser som är framtida eller dåtida till antingen \displaystyle E_1 eller \displaystyle E_2, men rumslikt separerade från den andra.

Som kontrast har vi fallet då \displaystyle E_2 ligger i framtiden till \displaystyle E_1 och därmed också att \displaystyle E_1 ligger i dåtiden till \displaystyle E_2, se den vänstra delen av figur [fig:framdatidflera]. Om detta är fallet så kommer alla händelser som är framtida till \displaystyle E_2 också att ligga i framtiden till \displaystyle E_1 och på motsvarande sätt är alla händelser som är dåtida till \displaystyle E_1 också dåtida till \displaystyle E_2. Det kommer också att finnas en region av rumtiden som i alla inertialsystem inträffar i framtiden till \displaystyle E_1 och i dåtiden till \displaystyle E_2.

Sammanfattning:

• Då samtid är ett relativt begrepp inom speciell relativitetsteori är det inte lämpligt att enligt den klassiska modellen dela upp rumtiden i framtid, dåtid och samtid eftersom denna uppdelning är inertialsystemsberoende.
• Ljuskonen för en händelse \displaystyle E delar upp rumtiden i de händelser \displaystyle E kan påverka (framtid), de händelser som kan påverka \displaystyle E (dåtid) och de händelser som vare sig kan påverka eller påverkas av \displaystyle E (rumslik separation). Denna uppdelning är oberoende av inertialsystemet.

Dopplereffekten

Läromål:

• Känna till relativistisk dopplereffekt och vad som skiljer den relativistiska effekten från den klassiska.
• Känna till exempel på dopplereffekt och kunna utföra beräkningar av effektens storlek.

Dopplereffekten[def:dopplereffekt] för ljudvågor är allmänt välkänd från följande observation: Om du står vid en väg så har ljudet från en bil högre frekvens när bilen närmar sig och när bilen passerar och avlägsnar sig går frekvensen ner. Motsvarande dopplereffekt förekommer i relativistisk optik och beskriver frekvens och våglängd hos ljus från en rörlig ljuskälla. Relativitetsteorin ger en korrektion till de klassiska resultaten som gäller för låga hastigheter. Huvudresultatet är att frekvensen ökar hos ljus från en källa som närmar sig, och minskar från en källa som avlägsnar sig. Ljus från en rörlig källa får en röd- eller blåförskjutning hos våglängden. Dopplereffekten har viktiga tillämpningar inom astronomin som diskuteras i detta kapitel. Liknande argument används i nästa kapitel för att analysera tvillingparadoxen.

Klassisk dopplereffekt

Vi inleder med att analysera dopplereffekten inom klassisk mekanik för fallet där observatören befinner sig i vila och källan rör sig relativt vågmediet. I allmänhet finns klassiskt även en dopplereffekt där källan är stationär relativt mediet medan observatören rör sig och den mest allmänna effekten fås då både observatör och källa rör sig. Fallet vi kommer att diskutera här är dock det som enklast generaliseras till det relativistiska fallet.

Vi studerar en signalgenerator som genererar signaler med en period \displaystyle t_0. Signalernas frekvens enligt generatorn är då \displaystyle f_0 = 1/t_0. Vi antar att generatorn rör sig med en hastighet \displaystyle v och vi studerar förloppet i vilossystemet för mediet i vilket signalerna rör sig där signalernas hastighet är \displaystyle u i alla riktningar. För de signaler som skickas i samma riktning som generatorn rör sig hinner en signalpuls röra sig sträckan \displaystyle ut_0 innan nästa puls sänds ut från generatorn, som då befinner sig en sträcka \displaystyle vt_0 längre fram. Detta innebär att sträckan \displaystyle \lambda mellan pulserna ges av
\displaystyle \lambda = ut_0 - vt_0 = (u-v)t_0.
För en observatör som är i vila relativt mediet kommer tiden mellan påföljande pulser därför att ges av
\displaystyle t = \frac{\lambda}{u} = \left(1-\frac{v}{u}\right) t_0
då den andra pulsen måste röra sig sträckan \displaystyle \lambda med en hastighet \displaystyle u efter att den första pulsen kommit fram. Frekvensen \displaystyle f med vilken observatören tar emot pulserna ges därför av
\displaystyle \label{ekv_klassiskdoppler} f = \frac{1}{t} = \frac{1/t_0}{1-v/u} = \frac{f_0}{1-v/u}.
Detta uttryck beskriver frekvensändringen orsakad av den klassiska dopplereffekten då källan rör sig mot observatören. Om källan i stället rör sig bort ifrån observatören kommer avståndet mellan påföljande pulser i stället att ges av
\displaystyle \lambda = (u+v)t_0
och frekvensändringen av
\displaystyle f = \frac{f_0}{1+v/u}.

Klassisk dopplereffekt
Alice kör formel 1-bil med hastigheten \displaystyle v=80 m/s = 288 km/h. Ljudhastigheten är ca \displaystyle u=340 m/s. Bob lyssnar stillastående från sidan av banan och observerar förhållandet \displaystyle \frac{f(v)}{f(-v)} = \frac{{1+v/u}}{{1-v/u}}=1.6 mellan frekvenserna hos motorljudet före och efter Alice kör förbi.

Relativistisk dopplereffekt

Vi ska göra om beräkningen ovan i det relativistiska fallet med ljussignaler med hastighet \displaystyle u=c och hastighet \displaystyle v\approx c mellan observatör och ljuskälla. Samma resonemang som ovan ger nu att
\displaystyle f=\frac{1}{1-v/c}\frac{1}{t_0}
där \displaystyle t_0 är tiden som passerar mellan de tidpunkter vid vilka generatorn skickar ut signaler. Skillnaden mot det klassiska fallet är att frekvensen i signalgeneratorns vilosystem är \displaystyle f_0=1/t'_0 = \gamma/t_0, där \displaystyle t'_0 är periodtiden i signalgeneratorns vilosystem, eftersom denna är tidsdilaterad relativt \displaystyle t_0. Vi erhåller därför
\displaystyle \frac{1}{t_0}=\sqrt{1-v^2/c^2}f_0.
Sammansättning av de två senaste ekvationerna ger
\displaystyle f= \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v/c} f_0.
Denna ekvation förenklas med hjälp av konjugatregeln (se matteappendixet) till

\displaystyle \label{ekv_doppler} \boxed{f = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} f_0}
i fallet då signalgeneratorn närmar sig observatören. Om signalgeneratorn i stället avlägsnar sig från observatören så ger samma argument med \displaystyle v\to -v att
\displaystyle \boxed{f = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} f_0.}

Dessa formler beskriver den relativistiska dopplereffekten. Motsvarande samband för våglängden \displaystyle \lambda=c/f blir

\displaystyle \begin{aligned} \label{ekv_dopplerlambda1} \lambda=&\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} \lambda_0 \\ \label{ekv_dopplerlambda2} \lambda=&\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} \lambda_0, \end{aligned}

där den övre (undre) ekvationen beskriver fallet då källan avlägsnar sig från (närmar sig) observatören. Dopplereffektens storlek anges ofta med parametern \displaystyle z=\lambda/\lambda_0-1 som anger den relativa dopplereffekten. Det bör här nämnas att våglängden, det vill säga avståndet mellan påföljande signalpulser, ändras i det relativistiska fallet, till skillnad från det klassiska där det är detsamma i alla inertialsystem på grund av absolut rum och absolut tid. I det relativistiska fallet måste våglängden ändras om frekvensen ändras då de relateras enligt \displaystyle c = \lambda f och \displaystyle c är en invariant.

Hur skiljer sig den relativistiska dopplereffekten från den klassiska? För att svara på detta ska vi visa att de relativistiska uttrycken övergår i de klassiska för små hastigheter som uppfyller \displaystyle v/c \ll 1. Då gäller approximationen (se matteappendixet)
\displaystyle f=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} f_0 \approx \frac{1}{1-v/c}f_0 ,
vilket överensstämmer med ekvation ([ekv_klassiskdoppler]) med signalhastighet \displaystyle u=c. Den klassiska dopplereffekten är alltså en giltig approximation vid små hastigheter, men när relativistiska effekter är viktiga behövs de relativistiska formlerna.

Den relativistiska dopplereffekten beskriver hur tiden mellan signaler uppfattas av en observatör i relativ rörelse i förhållande till ljuskällan.

[ex:rymdskeppsdoppler] Tid mellan signaler från ett rymdskepp
Alices rymdskepp rör sig med hastighet \displaystyle v/c=0.8 bort från Bob. Alice skickar en ljuspuls en gång per år som mottas av Bob. Hur lång tid går mellan varje ljuspuls som Bob tar emot? Frekvensen som Bob observerar är \displaystyle f=\sqrt{\frac{1-0.8}{1+0.8}} f_0=f_0/3 så Bob tar emot en ljuspuls vart tredje år. Om Alice i stället färdas mot Bob med \displaystyle v/c=0.8 så observerar Bob \displaystyle f=3f_0 och tar emot en signal var fjärde månad.

Dopplereffekten är viktig i astronomin eftersom den kan observeras experimentellt och är relaterad till hastigheten hos astronomiska objekt. Det observerade ljuset kan ha röd- eller blåförskjutning. Rödförskjutning fås om ljuskällans hastighet är riktad bort från mottagaren vilket ökar ljusets våglängd, det vill säga förskjuter våglängden mot den röda delen av ljusets spektrum. På motsvarande sätt fås blåförskjutning om ljuskällan närmar sig mottagaren.

Det bör nämnas att rödförskjutning även förekommer som ett av bevisen för universums expansion. På kosmologiska skalor i allmän relativitetsteori är det dock inte helt enkelt att definiera hur objekt rör sig relativt varandra och för en diskussion om kosmologisk rödförskjutning behövs en mer matematisk framläggning som också berör allmän relativitetsteori, vilket vi därför inte kommer att behandla i kursen.

De astronomiska tillämpningarna av dopplereffekt handlar om effekter av rörelsen hos objekt på mindre skala. Kosmologisk rödförskjutning är relevant på mycket stora skalor, medan relativistisk rödförskjutning är mer betydelsefull för observationer av rörelse på kortare avstånd exempelvis inom en lokal galaxgrupp. Ett viktigt resultat inom astronomin är att galaxer ofta har spiralform där strukturer som kallas armar genomgår en roterande rörelse kring galaxkärnan, liknande rörelsen i en vattenvirvel. Rörelsen hos spiralstrukturen kan observeras med doppereffekten hos ljus från olika delar av galaxen. I rotationsrörelsen rör sig delar av galaxarmarna bort från observatören på jorden och på motsatt sida om galaxkärnan rör sig armarna mot observatören. Detta ger alltså upphov till dopplereffekt med röd- eller blåförskjutning från olika delar av galaxen. Ljuset som ofta studeras i detta sammanhang kommer från väte och har våglängden 21 cm. Mätningar av detta slag visar att galaxer roterar betydligt snabbare än vad gravitationen från den synliga materien borde tillåta. Detta kan förklaras om galaxerna också innehåller en stor mängd mörk materia.

[ex:blaforskjutningandromeda] Blåförskjutning hos andromedagalaxen
Vår granne andromedagalaxen är på kollisionskurs med vintergatan. Ljus från andromeda har \displaystyle z=\lambda/\lambda_0-1=-0.00042, där minustecknet betyder att \displaystyle \lambda < \lambda_0 och därmed blåförskjutning. Ekvation ([ekv_dopplerlambda2]) ger hastigheten:

\displaystyle \begin{aligned}

   z+1 &=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}, \\
   x &=(z+1)^2=\frac{1-v/c}{1+v/c}, \\
   \frac{v}{c} &=\frac{1-x}{1+x}=0.00042 .\end{aligned}

Notera att detta motsvarar icke-relativistisk dopplereffekt eftersom \displaystyle v\ll c. Alltså närmar sig andromedagalaxen med hastigheten \displaystyle v=126 km/s. Avståndet till Andromeda är \displaystyle 2.54\cdot 10^6 ljusår och kollisionen väntas om \displaystyle 3.75\cdot 10^9 år. Rörelsen accelererar på grund av gravitationsattraktionen mellan galaxerna så formeln \displaystyle s=vt som gäller vid konstant hastighet fungerar inte här.

Dopplereffekten i ett minkowskidiagram

Det är användbart att visualisera dopplereffekten med hjälp av ett minkowskidiagram. Figur [fig6_1_minkowskidiagram_doppler] illustrerar effekten i exempel [ex:rymdskeppsdoppler] då \displaystyle S' har hastigheten \displaystyle v/c=0.8 relativt \displaystyle S.

[fig6_1_minkowskidiagram_doppler]

Ljusstrålar ritas som röda linjer i figuren och har lutning 1. Axlarna i \displaystyle S' har lutning som ges av \displaystyle v/c=\tan \theta=0.8. En ljuskälla i vila i \displaystyle S skickar ut ljussignaler från \displaystyle x=0 vid \displaystyle ct=0, 1, 2, 3, \ldots. I \displaystyle S' detekteras signalerna i \displaystyle x'=0 vid \displaystyle ct'=0, 3, 6, 9, \ldots. Detta visar hur dopplereffekten är användbar för att hålla rätt på tidsförskjutningen hos klockor i relativ rörelse. Exemplet är nära relaterat till tvillingparadoxen som diskuteras i nästa kapitel.

Sammanfattning:

• Dopplereffekten innebär att frekvens och våglängd hos signaler beror på den relativa hastigheten mellan observatör och signalkälla.
• Rödförskjutning innebär att signalkällan rör sig bort från observatören så att frekvensen minskar och våglängden ökar: \displaystyle f=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} f_0

\quad,\quad \lambda=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} \lambda_0 .

• Blåförskjutning innebär att källan rör sig mot observatören så att frekvensen ökar och våglängden minskar: \displaystyle f=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}} f_0

\quad,\quad \lambda=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} \lambda_0 .

De klassiska paradoxerna

Läromål:

• Känna till de vanligaste skenbara paradoxerna inom speciell relativitetsteori.
• Förstå hur dessa paradoxer är ett resultat av att hänsyn inte tagits till relativ samtidighet.
• Komma fram till det fysikaliskt korrekta resultatet för de båda observatörerna i tvillingparadoxen.

Effekterna tidsdilatation och längdkontraktion har gett upphov till ett antal klassiska skenbara paradoxer som ofta brukar förekomma när speciell relativitetsteori diskuteras i olika sammanhang. De kanske vanligaste av dessa är tvillingparadoxen och garageparadoxen. I det här avsnittet ska vi titta närmare på dessa och se att de egentligen inte alls är några paradoxer utan enbart en produkt av att inte ta hänsyn till att samtidighetsbegreppet inte längre är oberoende av vilket inertialsystem vi betraktar.

Tvillingparadoxen

Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid \displaystyle t = 0 och Bob rör sig med hastigheten \displaystyle v i Alice vilosystem. Om han vid tiden \displaystyle t=t_0 vänder för att färdas med en hastighet \displaystyle -v så kommer Bobs klocka hela tiden att vara tidsdilaterad med samma faktor \displaystyle \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}. När Bob kommer tillbaka till Alices position har tiden i Alices vilosystem blivit
\displaystyle t_A = 2t_0.
Eftersom Bob under hela färden varit tidsdilaterad kommer tiden som passerat för Bob att ges av
\displaystyle t_B = 2\frac{t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.
Men hur ser det hela ut från Bobs vilosystem? Eftersom Bob vänder efter halva resan kommer han att under resans gång byta vilosystem, men oberoende av vilket inertialsystem han är i vila relativt så kommer Alices klocka att vara tidsdilaterad med en faktor \displaystyle \gamma. Borde inte detta innebära att vi i stället får relationen
\displaystyle t_A = \frac{t_B}{\gamma}
som står i direkt konflikt med vad vi kom fram till sett från Alices vilosystem? Detta verkar vara en motsägelse och det är precis denna motsägelse som brukar kallas för tvillingparadoxen[def:tvillingparadoxen]. Ursprunget till paradoxen är det faktum att tidsdilatation är symmetrisk, det vill säga om Bob rör sig med en hastighet \displaystyle v relativt Alice så kommer Alice att uppfatta att Bobs klocka är tidsdilaterad men Bob kommer att uppfatta att det är Alices klocka som tidsdilateras.

En resa till \displaystyle \boldsymbol{\alpha}-Centauri
I trippelstjärnesystemet \displaystyle \alpha-Centauri ligger de tre stjärnor som, förutom solen, ligger närmast jorden drygt fyra ljusår bort. Nyligen har bland annat Stephen Hawking föreslagit ett projekt för att skicka små ultralätta rymdfarkoster till \displaystyle \alpha-Centauri med en hastighet på \displaystyle v = 0.2c. Dessa kommer inte att kunna vända om, men skulle en rymdfarkost som kunde det utföra samma resa och sedan färdas tillbaka med samma hastighet skulle vi kunna räkna ut tiden det skulle ta enligt
\displaystyle t = 2\frac{4~\mbox{ljusår}}{0.2~\mbox{ljusår}/\mbox{år}} = 40~\mbox{år}.
En hastighet på \displaystyle v = 0.2c skulle innebära en lorentzfaktor på \displaystyle \gamma \approx 1.02. En klocka ombord på farkosten skulle dessutom vara tidsdilaterad och därför enbart tickat fram \displaystyle t' \approx 39.2 år, det vill säga nästan 10 månader mindre.

Minkowskidiagram och tidsgap

Hur kan det då gå ihop att en klocka på jorden är tidsdilaterad i farkostens vilosystem samtidigt som att en klocka i farkosten är tidsdilaterad i jordens vilosystem? Vi ska här titta på hur tvillingparadoxen kan upplösas på två olika sätt, dels genom att utföra en analys av förloppen med en jämförelse av samtidigheter och dels med hjälp av två ljussignaler. Resonemangen kommer att kräva en del matematik, men kan förklaras konceptuellt enbart med hjälp av minkowskidiagram och en förståelse för hur relativ samtidighet ter sig i dessa.

I Alices vilosystem \displaystyle S kan förloppet beskrivas med minkowskidiagrammet i figur [fig:twinS].

Vid tiden \displaystyle t = t_0 vänder Bob och färdas i motsatt riktning och hela tiden är Bob därför tidsdilaterad med en faktor \displaystyle \gamma. Alice åldras under hela förloppet \displaystyle t_A = 2t_0 och Bob åldras \displaystyle t_B = t_A/\gamma. Detta är precis samma argument vi använde ovan.

I de två vilosystemen där Bob befinner sig i vila under delar av sin resa, som vi kan kalla \displaystyle S' och \displaystyle S'', har vi i stället situationerna som visas i figur [fig:twinSprime].

I \displaystyle S' är Bob i vila en tid \displaystyle t_0' innan han börjar röra sig och Alices klocka tickar under denna tid \displaystyle t_0'/\gamma i \displaystyle S'. På samma sätt tar det Bob samma tid \displaystyle t_0' innan han återförenas med Alice och under denna tid tickar Alices klocka också \displaystyle t_0'/\gamma i \displaystyle S''. Från rumtidsdiagrammen i figur [fig:twinSprime] ser vi att tiden \displaystyle t_0'/\gamma motsvarar den tid Alices klocka tickar fram mellan att de tar farväl och att Bob vänder i \displaystyle S' och att Bob vänder i \displaystyle S'' och de återförenas. Antagandet att Alices totala tid nu ges av \displaystyle 2t_0'/\gamma baseras nu på att händelsen \displaystyle A' är densamma som händelsen \displaystyle A''. Om detta inte är fallet har vi inte tagit hela Alices världslinje i beaktande när vi räknat ut hennes tid! Tittar vi nu i stället på vilka delar av rumtidsdiagrammet baserat på \displaystyle S' som diagrammen i figur [fig:twinSprime] beskriver (se figur [fig:twinall]) så ser vi att samtidighetslinjerna för \displaystyle S' och \displaystyle S'' inte är desamma och detta innebär att \displaystyle A' och \displaystyle A'' inte motsvarar samma händelse på Alices världslinje och Alices totala tid ges därför inte av \displaystyle 2t_0'/\gamma. Om vi gör detta finns det därför ett tidsgap[def:tidsgap] som vi inte räknat med då vi använt oss av tidsdilationen.

Vi kan räkna ut vad Alices totala tid borde bli om vi tar hela hennes världslinje i beaktande genom att studera figur [fig:twinSprimealt] där vi ritat ut samtidighetslinjen för \displaystyle S i \displaystyle S' då halva Alices tid passerat vid den händelse som är samtidig med Bobs vändning i \displaystyle S.

Eftersom samtidighetslinjen har lutningen \displaystyle -v/c och Alices världslinje i \displaystyle S' har lutningen \displaystyle -c/v erhålls ur geometrin sambandet
\displaystyle -\frac{v}{c} c\tau = - \frac{c}{v}(c\tau - ct_0') \quad \Longrightarrow \quad \tau = \frac{t_0'}{1-\frac{v^2}{c^2}} = t_0' \gamma^2.
Eftersom Alice i \displaystyle S' är tidsdilaterad kommer tiden det tar henne att nå fram till samtidighetslinjen att ges av
\displaystyle t_0 = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{t_0'\gamma^2}{\gamma} = t_0' \gamma.
Motsvarande argument för inertialsystemet \displaystyle S'' ger att Alices totala tid blir
\displaystyle t_A = 2t_0'\gamma = t_B \gamma.
Vi återfår därför precis samma uttryck \displaystyle t_B = t_A/\gamma som vi fick genom att studera händelseförloppet från Alices vilosystem och tvillingparadoxen är löst - det kommer ha gått mindre tid för Bob än för Alice när de återförenas!

Jorden runt och 300 ms
Tvillingparadoxen har testats direkt genom Hafele–Keating-experimentet år 1971 som även omnämndes i kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Genom att flyga två atomur runt jorden, ett i östlig och ett i västlig riktning, och sedan återförena dem och jämföra de tider som gått för dessa med ett referensur. För detta experiment var även effekterna från allmän relativitetsteori viktiga, men resultatet visade tydligt på en skillnad mellan uren som framför allt härrör från effekterna från speciell relativitetsteori. På grund av jordens rotation i östlig riktning rörde sig planet som flög i östlig rikting fortare och uret tickade under färden fram ungefär 300 ms mindre.

Ljussignalsanalys

Som ett alternativ till det ovanstående kan vi göra en analys som i stället påminner om den vi gjorde när vi diskuterade dopplereffekten i det föregående kapitlet. Vi kan tänka oss att Alice skickar ut en ljussignal som när den når Bob talar om för honom att det är dags att vända om och att Bob när han vänder skickar en ljussignal tillbaka till Alice som svar, se figur [fig:twinljusS]. Med hjälp av dessa signaler kommer vi att kunna nå fram till samma slutsats som tidigare, men på ett lite annorlunda sätt.

Vi börjar med att från Alices vilosystem \displaystyle S titta på signalen Bob skickar tillbaka. Bob sänder ut denna signal vid tiden \displaystyle t = t_0 och befinner sig då vid \displaystyle x = vt_0. Inkluderar vi signalfördröjningen innebär detta att Alice tar emot Bobs svar vid tiden
\displaystyle t_{A1} = t_0 + \frac{v}{c}t_0
eftersom det tar ljuset tiden \displaystyle vt_0/c att färdas tillbaka. När Bob kommer tillbaka kan Alice också konstatera att då Bob skickade signalen vid tiden \displaystyle t = t_0 så kommer tiden mellan att hon mottagit Bobs signal och att Bob kommer tillbaka att ges av
\displaystyle t_{A2} = t_0 - \frac{v}{c} t_0.
Den totala tiden Alice upplever för hela förloppet ges därför av
\displaystyle t_A = t_{A1} + t_{A2} = 2 t_0.
Samtidigt är Bob tidsdilaterad relativt \displaystyle S och Bobs passerade tid ges därför av
\displaystyle t_B = \frac{2t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.
Låt oss nu använda oss av Bobs olika inertialsystem för att komma fram till samma slutsats och då studera signalen som Alice skickat i stället. I Bobs ursprungliga inertialsystem \displaystyle S' mottar han ljussignalen efter tiden \displaystyle t_0'. Om vi kallar tiden i \displaystyle S' då Alice skickar signalen för \displaystyle t_{A1}' kan vi ur figur [fig:twinSprimealt2] komma fram till att Alice skickat iväg signalen då hon befann sig på ett avstånd \displaystyle vt_{A1} och att det därför tar signalen tiden \displaystyle vt_{A1}/c att nå Bob. Därmed erhålls sambandet
\displaystyle t_0' = t_{A1}'\left(1 + \frac{v}{c}\right) \quad \Longrightarrow \quad t_{A1}' = \frac{c t_0'}{c+v}.
Eftersom Alice är tidsdilaterad i \displaystyle S' med en faktor \displaystyle \gamma är tiden Alice upplever tills dess att hon skickat iväg signalen
\displaystyle t_{A1} = \frac{t_{A1}'}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c+v}.
Vi använder nu Bobs återvändande inertialsystem \displaystyle S'' för att beräkna tiden Alice upplever efter det att hon skickat signalen. Det tar Bob tiden \displaystyle t_0' innan han återförenas med Alice och om vi antar att det i detta inertialsystem tar Alice tiden \displaystyle t_{A2}'' att komma fram till Bob efter att ha skickat signalen så erhålls ur figur [fig:twinSprimeprimealt2] sambandet
\displaystyle t_{A2}'' = t_0' + \frac{v}{c} t_{A2}'',
där den sista termen är den tid det tar för ljuset att färdas sträckan \displaystyle v t_{A2}'', det vill säga samma sträcka som Alice färdas i \displaystyle S'' för att komma fram till Bob. Genom att lösa ut \displaystyle t_{A2}'' ur detta fås
\displaystyle t_{A2}'' = \frac{ct_0'}{c-v}
och tiden \displaystyle t_{A2} som Alice upplever under denna ges av
\displaystyle t_{A2} = \frac{t_{A2}''}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c-v}
eftersom Alice i \displaystyle S'' är tidsdilaterad med faktorn \displaystyle \gamma. Den totala tiden som Alice upplever från det att hon separerats från Bob tills de möts igen ges därför av
\displaystyle t_A = t_{A1} + t_{A2} = \frac{1}{\gamma}\left(\frac{ct_0'}{c+v} + \frac{ct_0'}{c-v}\right) = \frac{2t_0'}{\gamma}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{t_B \gamma^2}{\gamma} = t_B \gamma.
Liksom i den tidigare analysen med tidsgapet kommer vi därför fram till att det ofrånkomligen är så att Alice är den som har åldrats mest när Alice och Bob återförenas samt att detta inte beror på vilka inertialsystem vi använder för att beskriva händelseförloppet.

Acceleration

En vanligt förekommande förklaring till varför förloppet i tvillingparadoxen inte är symmetriskt är att Bob måste accelerera. Det är helt korrekt att detta är en konsekvens av att Bob byter vilosystem, accelererar han inte byter han inte vilosystem, men det är inte helt rättvisande att hänvisa till att det är accelerationen som är upphov till varför Bob åldras mindre, utan detta beskrivs helt och hållet med analyserna ovan som inte någonstans hänvisat till Bobs acceleration. Tidsdilatationerna och geometrin som använts har enbart hänvisat till Alices och Bobs relativa hastigheter.

Garageparadoxen

Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade garageparadoxen[def:garageparadoxen], vilken uppkommer när vi studerar längdkontraktion och det faktum att denna på ett sätt som liknar tidsdilatationen är symmetrisk, det vill säga objekt som är i vila i inertialsystemet \displaystyle S blir längdkontraherade i \displaystyle S' och vice versa. Paradoxen formuleras på följande sätt: Antag att Bob kör sin nya bil med vilolängd \displaystyle \ell i en hastighet \displaystyle v relativt ett garage som också har vilolängden \displaystyle \ell, se figur [fig:garage]. Garaget befinner sig i vila i Alices vilosystem \displaystyle S och i detta system är Bobs bil längdkontraherad och har därmed längden \displaystyle \ell' = \ell/\gamma. Alice konstaterar därmed glatt att bilen kommer att få plats i garaget.

I Bobs inertialsystem \displaystyle S' ser situationen mer dyster ut, se den undre delen av figur [fig:garage]. Eftersom det i \displaystyle S' är garaget som rör sig med hastigheten \displaystyle -v är det där garaget som är längdkontraherat och har längden \displaystyle \ell' = \ell/\gamma, vilket betyder att bilen inte kommer att få plats! Hur kan bilen få plats i garaget i det ena inertialsystemet men inte i det andra? En beskrivning av förloppet i minkowskidiagram baserade på de båda inertialsystemen visas i figur [fig:garageminkowski].

För att kunna lösa garageparadoxen måste vi undersöka vad som menas med att bilen “får plats” i garaget. Innebörden av detta i \displaystyle S är att det finns en tidpunkt \displaystyle t = t_0 då hela bilen befinner sig inuti garaget. På samma sätt är definitionen i \displaystyle S' att det ska finnas en tidpunkt \displaystyle t' = t'_0 då hela bilen befinner sig inuti garaget. Precis här finner vi därför paradoxens upplösning. Vi har i de föregående delarna av kursen sett exempel på relativ samtidighet. Eftersom samtidighetslinjerna för \displaystyle S och \displaystyle S' inte är parallella är det därför inte nödvändigt att det finns en samtidighetslinje för \displaystyle S' där hela bilen får plats i garaget bara för att det existerar en samtidighetslinje för \displaystyle S där den gör det. Detta illustreras i figur [fig:garageminkowski2] där vi har ritat en samtidighetslinje för \displaystyle S i minkowskidiagrammet som baserats på \displaystyle S' för vilken hela bilen befinner sig i garaget.

Det bör noteras att inget fysikaliskt förlopp kommer att ske annorlunda i \displaystyle S jämfört med vad som händer i \displaystyle S'. Om vi låter garaget ha dörrar på fram- och baksidan och stänger dessa vid samma tidpunkt i \displaystyle S så kommer bilen i \displaystyle S att få plats vid denna tidpunkt. Öppnar vi dörrarna direkt efter passerar bilen utan problem. I \displaystyle S' kommer detta dock beskrivas på ett sådant sätt att dörren i slutet på garaget både stängdes och öppnades innan dörren i början av garaget stängdes. Därmed tilläts bilen passera trots att den är längre än garaget.

Sammanfattning:

• Tvillingparadoxen uppkommer då vi betänker att tidsdilatation är en symmetrisk effekt. Hur kan \displaystyle A uppfatta att tiden går långsammare för \displaystyle B samtidigt som \displaystyle B uppfattar att tiden går långsammare för \displaystyle A? Detta ställs på sin spets då en av observatörerna åker iväg och sedan återvänder. Det finns många olika sätt att lösa paradoxen, varav vi har diskuterat två:

  • Paradoxen upplöses genom att inse att relativ samtidighet innebär att situationen inte är symmetrisk. När den resande observatören \displaystyle B vänder byter denne inertialsystem och uppfattningen om vad som är samtida med vändningen är olika i dessa. Detta leder till att ett tidsgap lätt kan missas när situationen beskrivs utifrån \displaystyle Bs inertialsystem.

  • Genom att göra en analys av ljussignaler som skickas från \displaystyle A till \displaystyle B och vice versa kan vi säkerställa att hänsyn tas till observatörernas hela världslinjer mellan det att de separeras tills dess att de återförenas.

  Båda dessa lösningar ger samma resultat: att mindre tid passerar för \displaystyle B.

• Garageparadoxen handlar om symmetrin i längdkontraktion och om en bil med samma vilolängd som vilolängden för ett garage får plats i garaget. Paradoxens upplösning är att vad “får plats” betyder varierar mellan inertialsystemen på grund av relativ samtidighet.

Fler exempel till Del 2

Exempel 1: Hastighetsaddition

Två raketer färdas i samma riktning bort från jorden. Raket ett har hastighet \displaystyle 0.7c relativt jorden och raket två har hastighet \displaystyle 0.9c relativt jorden. Vad är hastigheten hos raket två relativt raket ett?

Låt \displaystyle v_1=-0.7c vara jordens hastighet relativt raket ett och \displaystyle v_2=0.9c vara hastigheten hos raket två relativt jorden. Klassiskt skulle vi nu få hastigheten hos raket två relativt raket ett till \displaystyle v=v_1+v_2=-0.7c+0.9c=0.2c vilket som väntat stämmer med \displaystyle 0.9=0.7+0.2. Med den relativistiska hastighetsformeln fås ett annat svar. Hastighetsadditionsformeln för hastigheten \displaystyle v hos raket två relativt raket ett är \displaystyle v=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} Numeriskt: \displaystyle v/c=\frac{v_1/c+v_2/c}{1+v_1v_2/c^2} =\frac{0.9-0.7}{1-0.7\cdot 0.9} =0.5 Vi ser att \displaystyle 0.7+0.5=1.2 > 0.9.

Exempel 2: Ljuskonen

För de givna paren händelser, avgör om deras separation är tidslik, rumslik eller ljuslik. Ange ett inertialsystem där händelserna sker samtidigt om något sådant finns.

(a) \displaystyle (ct_1,x_1,y_1,z_1)=(10,3,1,-1) och \displaystyle (ct_2,x_2,y_2,z_2)=(0,1,2,-3).
Bestäm avstånden i tidsled och rumsled: \displaystyle c^2\Delta t^2=10^2=100 \;,\; \Delta r^2=(3-1)^2+(1-2)^2+(-1-(-3))^2=9 Alltså är \displaystyle c^2\Delta t^2 > \Delta r^2 och händelserna är tidsslikt separerade. De är inte samtidiga i något inertialsystem.

(b) \displaystyle (ct_1,x_1,y_1,z_1)=(1,0,0,0) och \displaystyle (ct_2,x_2,y_2,z_2)=(2,2,1,1).
Avstånden blir \displaystyle c^2\Delta t^2=(1-2)^2=1 \;,\; \Delta r^2=2^2+1^2+1^2=6 Alltså är \displaystyle c^2\Delta t^2 < \Delta r^2. Händelserna är rumslikt separerade. De är samtidiga i några inertialsystem. Konstruera ett sådant inertialsystem som har hastighet \displaystyle v i x-riktningen relativt systemetet där händelsernas koordinater är angivna. Lorentztransformationen ger tidskoordinaterna i det nya systemet: \displaystyle ct_1'=\gamma(ct_1-(v/c)x_1) \;,\; ct_2'=\gamma(ct_2-(v/c)x_2) Dessa är samtidiga om \displaystyle ct_1'=ct_2' dvs \displaystyle ct_1-(v/c)x_1=ct_2-(v/c)x_2. Lös ut \displaystyle v: \displaystyle ct_1-ct_2=(v/c)(x_1-x_2) vilket ger \displaystyle v/c=1/2.

(c) \displaystyle (ct_1,x_1,y_1,z_1)=(4,3,2,1) och \displaystyle (ct_2,x_2,y_2,z_2)=(5,2,2,1).
Avstånden blir \displaystyle c^2\Delta t^2=(4-5)^2=1 \;,\; \Delta r^2=(3-2)^2+(2-2)^2+(1-1)^2=1 Alltså är \displaystyle c^2\Delta t^2 = \Delta r^2 och händelserna ljuslikt separerade. Det finns inget inertialsystem där de är samtidiga.

Exempel 3: Tvillingparadoxen

En astronaut reser tur och retur i rymden med hastigheten \displaystyle v=0.5c. Vid återkomsten har astronauten åldrats ett år mindre än sin tvilling som varit kvar på jorden. Bestäm avståndet \displaystyle x från jorden till resans vändpunkt.

Bestäm först restiden \displaystyle t. Vi vet att astronauten åldras tiden \displaystyle t'=t-1 år. Tidsdilatationsformeln ger \displaystyle t=\gamma t' =\gamma (t-1) Lös ut \displaystyle t: \displaystyle t=\gamma/(\gamma-1)=7.5 år. Halva restiden \displaystyle t_{1/2} går åt för att nå vändpunkten som är på avståndet \displaystyle x=vt_{1/2}=(0.5 c) \cdot (7.5/2) \mbox{ år} = 1.9\mbox{ ljusår}

Exempel 4. Dopplereffekt

Ett ljuskälla i rymden sänder ut grönt ljus med frekvensen \displaystyle f_0=530 THz (1 terahertz=\displaystyle 10^{12} Hz). Ljuskällan passeras av ett rymdskepp med hastigheten \displaystyle v=0.2c i förhållande till ljuskällan. Bestäm frekvensen och våglängden hos ljuset som uppmäts av rymdskeppet före och efter att ljuskällan passeras, samt skiftet i dessa vid passagen.

Frekvensen när rymdskeppet närmar sig källan ges av dopplerformeln \displaystyle f_1=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}f_0 =\sqrt{\frac{1+0.2}{1-0.2}} \cdot 530 =649 \mbox{ THz} som motsvarar blått ljus. Frekvensen när rymdskeppet rör sig från källan är \displaystyle f_2=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}f_0 =\sqrt{\frac{1-0.2}{1+0.2}} \cdot 530 =433 \mbox{ THz} som är rött ljus. Vid passagen minskar frekvensen med \displaystyle \Delta f=f_1-f_2=216 \mbox{ THz}. Våglängderna blir: \displaystyle \lambda_1=c/f_1=462 nm, \displaystyle \lambda_2=c/f_2=693 nm. Vid passagen ökar våglängden med \displaystyle \Delta \lambda_2=\lambda_2-\lambda_1=231 nm (1 nanometer\displaystyle =10^{-9} m).

Exempel 5: Dopplereffekt

Ett rymdskepp färdas bort från jorden med hastighet \displaystyle v=0.9c. Rymdskeppet sänder en ljussignal med frekvensen \displaystyle f_0 mot jorden. En mottagare på jorden observerar den dopplerskiftade frekvensen \displaystyle f=1.5\cdot 10^{12} Hz. Bestäm \displaystyle f_0.

Den relativistiska dopplereffekten ges av \displaystyle f=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}f_0 Lös ut \displaystyle f_0 ur detta uttryck: \displaystyle f_0=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}f =\sqrt{\frac{1+0.9}{1-0.9}}\cdot 1.5\cdot 10^{12} =4.4\cdot 10^{12} \mbox{ Hz}

Energi, rörelsemängd och massa

Relativistisk mekanik

Läromål:

• Behärska de relativistiska definitionerna av rörelsemängd och energi och övergången till den klassiska gränsen.
• Känna till vad bevarandelagar är, vilka som gäller i relativitetsteorin samt skillnaden gentemot klassisk mekanik.
• Kunna redogöra för vad viloenergi är och relationen till massa.
• Kunna utföra enkla beräkningar med relativistisk rörelsemängd och energi.
• Kunna redogöra för den relativistiska hastighetsgränsen.
• Känna till några viktiga exempel där \displaystyle E=mc^2 ingår.

Vi har tidigare diskuterat hur relativitetsteorin reviderar begreppen tid och rum. I detta kapitel studeras hur den klassiska mekaniken behöver revideras för att hänga ihop med den nya synen på tid och rum. Detta kommer att leda till nya viktiga naturlagar med långtgående konsekvenser inom vetenskap och teknik. Huvudresultaten är att den klassiska fysikens definitioner av rörelsemängd och energi behöver revideras. Detta leder till att begreppet massa får en ny betydelse i form av en viloenergi som ges av \displaystyle E=mc^2 och saknar klassisk motsvarighet, och att den klassiska lagen om massans bevarande överges. Einsteins banbrytande förutsägelse innebär mer än en djup teoretisk insikt, den förklarar många olika experimentella resultat och är som vi ska se även viktig inom tillämpningar. Vi inleder kapitlet med ett argument som direkt leder till \displaystyle E=mc^2.

Einsteins låda
Studera en sluten låda med massa \displaystyle M och sidlängd \displaystyle L som är i vila och inte påverkas av några yttre krafter. Se figur [fig8_1_Einsteins_lada].

[fig8_1_Einsteins_lada]

En ljuspuls med energin \displaystyle E avges inuti lådan från den vänstra väggen och absorberas i den högra väggen. Vi ska utan härledning använda en egenskap hos ljus som följer ur Maxwells ekvationer och som vi ska diskutera mer senare i kapitlet: ljus med energi \displaystyle E har rörelsemängd \displaystyle p som ges av \displaystyle E=pc eller \displaystyle p=E/c. På grund av bevarandet av den totala rörelsemängden hos ljuset plus lådan, \displaystyle p_{\rm l\text{\normalfont å}da}+p_{\rm ljus}=0, fås en kraft på vänstra väggen när ljuset avges som ger lådan hastigheten \displaystyle v=-E/(Mc) riktad åt vänster eftersom lådans rörelsemängd ges av \displaystyle Mv. Vid absorptionen i lådans högra vägg efter tiden \displaystyle t=L/c fås en lika stor motriktad kraft och lådan stannar. Nettoeffekten är att lådan flyttas till vänster med sträckan \displaystyle \Delta x=vt=-LE/(Mc^2). Men inga yttre krafter verkar på lådan så lådans masscentrum måste vara i vila. Eftersom lådan flyttas måste därför massan i vänstra väggen minska när ljuset avges, och öka i högra väggen när ljuset absorberas. Villkoret för att lådans tyngdpunkt står stilla när massan \displaystyle m flyttas mellan väggarna är \displaystyle mL + M\Delta x = mL - LE/c^2 = 0. Detta ger direkt sambandet \displaystyle E = mc^2 mellan strålningsenergin och den flyttade massan.<ref>Resonemanget försummar att avståndet som massan \displaystyle m flyttas ska vara \displaystyle L+\Delta x i stället för \displaystyle L, och att lådans massa blir \displaystyle M-m i stället för \displaystyle M när ljuset avges. Dessa förenklingar ändrar inte slutresultatet.</ref>

Massa, energi och rörelsemängd i klassisk mekanik

Innan vi kommer till relativistisk mekanik ska vi sammanfatta några huvudresultat inom klassisk mekanik. Fokus kommer att ligga på bevarandelagar[def:bevarandelagar] som är centrala resultat i mekaniken. En bevarandelag beskriver att en egenskap inte ändras med tiden. De egenskaper som ska studeras är massa, energi och rörelsemängd. I klassisk mekanik bevaras den totala massan, energin och rörelsemängden även om systemet genomgår reaktioner och kollisioner, så att dessa antar samma värden före och efter kollisionen. Vi ska först se hur detta fungerar i klassisk fysik för att sedan komma till vad som behöver modifieras i relativitetsteorin.

Massa

Vi börjar med att diskutera begreppet massa och dess egenskaper i klassisk mekanik. Massan hos ett objekt är en karakteristisk konstant hos varje system, som klassiskt definieras som proportionalitetskonstanten mellan en kraft som påverkar objektet och den resulterande accelerationen. Detta är Newtons andra lag
\displaystyle F=ma,
där \displaystyle F är kraften, \displaystyle m är massan och \displaystyle a är accelerationen. Massan 1 kg definieras idag som massan hos den internationella prototypen för kilogrammet (IPK) som lagras i Sèvres i Frankrike. Det finns flera kopior av standardmassan runt om i världen. Massan hos andra objekt kan bestämmas experimentellt genom att jämföra accelerationen som en given kraft ger. Om standardmassan \displaystyle m_0 får accelerationen \displaystyle a_0 så blir \displaystyle F=m_0a_0=ma \Rightarrow m=m_0 a_0/a. Det vanligare sättet att bestämma massa är att använda en våg som utnyttjar att gravitationskraften vid jordytan är \displaystyle F=mg, där \displaystyle g\approx 9.8 m/s\displaystyle ^2 är tyngdaccelerationen vid jordytan. Genom att mäta gravitationskraften med till exempel utsträckningen av en fjäder på grund av tyngdkraften kan \displaystyle m bestämmas.

Det finns några andra relaterade begrepp som vi nämner för fullständighetens skull. Massan \displaystyle m som förekommer i Newtons gravitationslag kallas ibland den “tunga massan” och man kan fråga sig om den är samma sak som den “tröga massan” i Newtons andra lag. Experimentellt finns ingen skillnad på värdena av de två och de antas därför vara samma. Detta antagande är en av grundtankarna bakom Einsteins allmänna relativitetsteori som vi inte kommer att gå in på i denna kurs. Ett närliggande begrepp är tyngden hos en kropp, som ges av gravitationskraften på en massa, det vill säga \displaystyle F = mg. Denna beror på värdet av tyngdaccelerationen \displaystyle g och ändras om värdet på \displaystyle g ändras. I tyngdlöshet är \displaystyle g\approx 0. På månen är tyngdaccelerationen ungefär \displaystyle 0.16 g och tyngden hos ett objekt blir därför enbart 16 % av tyngden vid jordytan.

Lagen om massans bevarande är en viktig princip i klassisk fysik som säger att massa inte kan förstöras eller skapas. Vid en reaktion är summan av de ingående massorna samma före och efter reaktionen. Denna lag är ofta väldigt användbar till exempel inom kemi och vätskeflöden, men gäller inte i allmänhet relativistiskt. Vi såg redan ett exempel ovan när vi diskuterade Einsteins låda på hur massa kan omvandlas till strålning.

Rörelsemängd

Rörelsemängden \displaystyle p definieras inom den klassiska mekaniken som massan \displaystyle m gånger hastigheten \displaystyle v=dx/dt hos ett objekt:
\displaystyle p=mv.
Vi antar här rörelse enbart i \displaystyle x-riktningen för enkelhets skull. I allmänhet är hastighet och rörelsemängd vektorer med komponenter i \displaystyle x,y,z-riktningarna: \displaystyle (p_x,p_y,p_z)=(mv_x,mv_y,mv_z). Newtons rörelselag kan med hjälp av rörelsemängden uttryckas på följande sätt:
\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=m\,\frac{dv}{dt}.
Den sista likheten gäller om \displaystyle m inte beror på tiden. Detta är inte nödvändigtvis sant. Exempelvis minskar massan hos ett rymdskepp med tiden på grund av att raketbränslet konsumeras och rörelseekvationen på formen \displaystyle F=dp/dt=v\,dm/dt+m\,dv/dt måste användas.

Redan i kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]] nämnde vi Newtons första lag som säger att utan yttre krafter befinner sig ett objekt i likformig rörelse:
\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=0 \quad \Longrightarrow \quad p=\mbox{konstant}.
Vid likformig rörelse bevaras alltså rörelsemängden. Vi kommer ofta diskutera vad som händer vid en kollision mellan två partiklar. Då bevaras den totala rörelsemängden som ges av summan av partiklarnas rörelsemängder. Den totala rörelsemängden är lika stor före och efter kollisionen. Denna egenskap är grunden för mycket av det som kommer att diskuteras i detta kapitel. Nästa exempel är viktigt och ger det centrala resultatet: rörelsemängdens bevarande är invariant det vill säga gäller i alla inertialsystem.

Rörelsemängd hos kolliderande partiklar
Två partiklar med massa \displaystyle m_1 och \displaystyle m_2, hastighet \displaystyle v_1 och \displaystyle v_2, och rörelsemängd \displaystyle p_1=m_1v_1,p_2=m_2v_2 kolliderar med varandra. Partiklarna påverkar varandra med en kraft vid kollisionen, men inga yttre krafter antas verka på systemet. Alice studerar kollisionen i sitt vilosystem. Enligt Newtons andra lag är \displaystyle dp_1/dt=F_1 och \displaystyle dp_2/dt=F_2 där \displaystyle F_1 är kraften från partikel 2 på 1, och \displaystyle F_2 är kraften från partikel 1 på 2. Enligt Newtons tredje lag är dessa krafter lika stora och motriktade: \displaystyle F_1=-F_2. Summan av partiklarnas rörelseekvationer blir därför \displaystyle \frac{d}{dt}(p_1+p_2)=F_1+F_2=0. Detta visar att den totala rörelsemängden \displaystyle p_1+p_2 bevaras, det vill säga \displaystyle p_1+p_2 beror inte på tiden utan antar samma värde vid alla tider, före och efter kollisionen. Vad gäller i andra inertialsystem? Bobs vilosystem rör sig med hastighet \displaystyle v relativt Alice. Enligt galileitransformationen och den klassiska hastighetsadditionsformeln är partiklarnas hastigheter i Bobs inertialsystem \displaystyle v_1'=v_1-v och \displaystyle v_2'=v_2-v, och rörelsemängderna blir \displaystyle p_1'=m_1v_1-m_1v=p_1-m_1v och \displaystyle p_2'=m_2v_2-m_2v=p_2-m_2v. Rörelsemängderna har alltså inte samma värden som i Alices system. Vi erhåller nu \displaystyle \frac{d}{dt}(p_1'+p_2')= \frac{d}{dt}(p_1 + p_2) - (m_1 + m_2) \frac{dv}{dt} =

   \frac{d}{dt}(p_1+p_2)=0 eftersom \displaystyle v är en konstant. Detta visar att om rörelsemängden bevaras i ett inertialsystem så bevaras den i alla.

Slutsatsen är att rörelsemängden beror på valet av inertialsystem, men nyckelobservationen är att totala rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Detta följer av galileitransformationen och klassisk hastighetsaddition.

Energi

I klassisk mekanik definieras rörelseenergin[def:rorelseenergi] eller kinetiska energin som
\displaystyle T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m},
där \displaystyle p=mv är rörelsemängden. Den totala rörelseenergin för de två partiklarna i exemplet ovan blir
\displaystyle E=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}
i Alices system. Värdet i Bobs system är annorlunda och ges i stället av
\displaystyle E'=\frac{(p'_1)^2}{2m_1}+\frac{(p'_2)^2}{2m_2}

   =\frac{(p_1-m_1v)^2}{2m_1}+\frac{(p_2-m_2v)^2}{2m_2},

vilket inte överensstämmer med energins värde \displaystyle E i Alices system. Rörelseenergins värde beror alltså, liksom rörelsemängdens värde, på valet av inertialsystem,

Så kallade konservativa krafter kan skrivas som derivatan av en potentiell energi \displaystyle V som
\displaystyle F=-\frac{dV}{dx}.
Vid konservativa krafter definieras den totala energin som
\displaystyle E=T+V.
Ändringen av den totala energin med tiden ges av
\displaystyle \frac{dE}{dt} =\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}+\frac{dV}{dt} =\frac{dp}{dt}\frac{p}{m}+\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} =Fv-Fv=0
enligt Newtons rörelselag \displaystyle F=dp/dt=-dV/dx och kedjeregeln för derivering \displaystyle dV(x(t))/dt=(dV(x)/dx)(dx/dt). Detta är energiprincipen, eller lagen om att den totala energin bevaras. Den säger att den totala energin är konstant men kan omvandlas mellan olika energiformer. Det kan även finnas fler former än de som nämnts ovan, exempelvis som värmeenergi och strålningsenergi. Det allmänna resultatet är att den totala energin bevaras om alla bidrag tas med.

Sammanfattningsvis har vi formulerat tre viktiga bevarandelagar i klassisk mekanik: massa och energi bevaras, och rörelsemängd bevaras hos fri rörelse. Bevarandelagarna gäller i alla inertialsystem.

Massa, energi och rörelsemängd i relativitetsteori

Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att leda till revisionen av energi och massa. I förra avsnittet fann vi att invariansen hos bevarandelagen för rörelsemängden beror på galileitransformationen. När vi i relativitetsteorin ersätter denna med lorentztransformationen kommer rörelsemängdens bevarande inte att gälla, åtminstone inte om vi definierar rörelsemängden på samma sätt som tidigare. Detta betyder att den klassiska mekanikens grunder behöver revideras. Vi ställer några grundläggande krav på den relativistiska mekaniken:

• Teorin ska stämma med experiment både vid låga och höga relativa hastigheter.
• Vid låga hastigheter fungerar klassiska mekanik bra, så denna gräns ska vara inbyggd.
• Bevarandelagar ska gälla även i relativitetsteorin.

Vi ska börja med att analysera varför den klassiska definitionen av rörelsemängd, \displaystyle p=m\,dx/dt, inte fungerar inom relativitetsteorin. I det ickerelativistiska exemplet ovan med kolliderande partiklar fann vi att rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Rörelsemängdens bevarande betyder att \displaystyle p har samma värde före och efter en kollision, oberoende av val av inertialsystem. Klassiskt beror invariansen hos rörelsemängdens bevarande på att \displaystyle dx' = dx - v\, dt leder till att \displaystyle p' = dx'/dt = p - mv där \displaystyle mv enbart är en konstant som inte påverkar rörelsemängdens förändring, det vill säga \displaystyle dp' = dp. Om vi försöker göra motsvarande argumentation när vi bytt ut galileitransformationen mot lorentztransformationen stöter vi på ett par problem. Till att börja med är tiden inte längre lorentzinvariant och om vi deriverar med avseende på en tid i ett specifikt inertialsystem kommer denna att bero på vilket inertialsystem vi väljer. För att komma runt detta behöver tidsintervallet \displaystyle dt i definitionen av rörelsemängden ersättas med ett invariant tidsintervall som vi nu ska konstruera.

Relativitetsteorin har ett mycket användbart uttryck för avståndet mellan händelser. Det rumsliga avståndet i kvadrat mellan två punkter med separationsvektor \displaystyle (\Delta x,\Delta y,\Delta z) i det tredimensionella rummet ges av \displaystyle \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 och är invariant under galileitransformationer, det vill säga uttrycket har samma värde efter en galileitransformation till ett nytt koordinatsystem. Tidsavståndet i kvadrat mellan två händelser, \displaystyle \Delta t^2, är också invariant under en galileitransformation enligt antagandet om absolut tid. Inget av dessa avståndsmått blir invariant i relativitetsteorin, eftersom lorentztransformationen blandar tids- och rumskoordinaterna. I relativitetsteorin konstrueras ett nytt invariant avståndsbegrepp som innehåller både tids- och rumskoordinaterna. Relativitetsteorins invarianta rumtidsintervall skrivs \displaystyle \Delta s och definieras genom
\displaystyle (\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2.
Till skillnad från avståndsformeln i tredimensionella rummet innehåller detta uttryck även minustecken, men det är precis vad som krävs av invarians under lorentztransformationen \displaystyle c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-v\Delta x/c), \displaystyle \Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t), \displaystyle \Delta y'=\Delta y, \displaystyle \Delta z'=\Delta z. Härledning: \displaystyle \begin{aligned} (\Delta s')^2 =&(c\Delta t')^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2 \nonumber \\ =&\gamma^2[(c\Delta t-v\Delta x/c)^2-(\Delta x-v\Delta t)^2] -\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&\gamma^2[c^2\Delta t^2+\Delta x^2v^2/c^2-2\Delta t\Delta xv \nonumber \\ & -\Delta x^2-v^2\Delta t^2+2\Delta t\Delta xv]-\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 \nonumber \\ =&(\Delta s)^2.\end{aligned}

Det invarianta rumtidsintervallet kan skrivas om som ett invariant tidsintervall. Först bryter vi ut den gemensamma faktorn \displaystyle \Delta t. Sedan låter vi \displaystyle \Delta t vara mycket litet och skriver det då som \displaystyle dt. Dividera slutligen med den invarianta ljushastigheten \displaystyle c. Vi får då ett invariant tidsintervall som skrivs \displaystyle d\tau och ges av
\displaystyle d\tau^2 = dt^2\left(1-\frac{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}{c^2}\right) =\frac{dt^2}{\gamma^2},
där \displaystyle \tau är egentiden som infördes tidigare när vi diskuterade tidsdilatation som tiden i vilosystemet. Detta ger tidsdilatationsformeln på formen \displaystyle dt=\gamma \, d\tau. Division med \displaystyle d\tau ger derivatan
\displaystyle \frac{dt}{d\tau} = \gamma
som vi kommer att använda ofta.

I och med konstruktionen av det invarianta tidsintervallet \displaystyle d\tau kan vi ta oss runt det första problemet med att definiera den relativistiska rörelsemängden, att \displaystyle dt inte var invariant under lorentztransformationer. Vi ersätter därför \displaystyle dt med \displaystyle d\tau och definierar den relativistiska rörelsemängden[def:rorelsemangd] i \displaystyle x-riktningen enligt
\displaystyle \label{eq:relativistiskrorelsemangd} p = m \frac{dx}{d\tau} = m \frac{dt}{d\tau}\frac{dx}{dt} = \gamma mv,
där \displaystyle v = dx/dt och vi använt kedjeregeln för derivering.<ref>Den hastighetsberoende kombinationen \displaystyle \gamma m kallas ibland för den relativistiska massan och skiljs från \displaystyle m som då kallas vilomassan. Detta begrepp förekommer ofta i äldre litteratur men leder många gånger till missuppfattningar. Vi kommer därför inte att använda detta begrepp utan reserverar \displaystyle m för den invarianta vilomassan.</ref> För rörelse i tre dimensioner blir \displaystyle (p_x,p_y,p_z)= \gamma m (v_x,v_y,v_z). Den relativistiska rörelsemängden övergår i det klassiska uttrycket \displaystyle p=mv för små hastigheter då \displaystyle \gamma\approx 1, vilket är ett krav på den relativistiska definitionen.

Om denna definition leder till att rörelsemängdens bevarande är invariant under lorentztransformationer så är definitionen rimlig. Låt oss därför kontrollera om detta är sant. Vi börjar med att uttrycka rörelsemängden i inertialsystemet \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v relativt \displaystyle S enligt
\displaystyle p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \left[ \gamma m \frac{dx}{d\tau} - \gamma mv \frac{dt}{d\tau}\right],
där vi har uttryckt \displaystyle dx' i termer av \displaystyle dx och \displaystyle dt med hjälp av lorentztransformationen. Sätter vi nu in definitionen av den relativistiska rörelsemängden i \displaystyle S i detta uttryck erhålls
\displaystyle p' = \gamma \left[ p - v m\frac{dt}{d\tau}\right].
Vi kan nu kontrollera om rörelsemängdens bevarande är invariant. I en kollision mellan två objekt sätter vi deras rörelsemängder i \displaystyle S innan kollisionen till \displaystyle p_{1,\rm in} och \displaystyle p_{2,\rm in} och efter till \displaystyle p_{1,\rm ut} och \displaystyle p_{2,\rm ut}. Om rörelsemängden är bevarad i \displaystyle S gäller därför att
\displaystyle p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} = p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut}.
Om vi nu utgår från summan av rörelsemängderna i \displaystyle S' innan kollisionen erhåller vi \displaystyle \begin{aligned} p'_{1,\rm in} + p'_{2,\rm in} &= \gamma \left[p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right] \nonumber \\ &= \gamma \left[p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}}\right)\right],\end{aligned} där vi använt oss av rörelsemängdens bevarande i \displaystyle S. Jämför vi detta med den totala rörelsemängden i \displaystyle S' efter kollisionen erhålls \displaystyle \begin{aligned} p'_{\rm tot,ut} - p'_{\rm tot, in} &= p'_{1,\rm ut} + p'_{2,\rm ut} - p'_{1,\rm in} - p'_{2,\rm in}\nonumber \\ &= \gamma v \left[ m_1\left(\frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}}- \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}}\right) + m_2 \left(\frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} - \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right].\end{aligned} För att den relativistiska rörelsemängden ska vara bevarad även i \displaystyle S' krävs således att högerledet här är lika med noll. Detta går att lösa om vi förutom rörelsemängdens bevarande också antar att summan av storheten \displaystyle m\, dt/d\tau = \gamma m för de olika objekten är bevarad i \displaystyle S, det vill säga
\displaystyle m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} = m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}.
Vi ska strax tolka denna nya bevarandelag.

Bevarande av relativistisk rörelsemängd
För att se hur den relativistiska rörelsemängdens bevarande fungerar ska vi studera ett exempel. Två identiska partiklar rör sig längs \displaystyle z-axlarna i var sitt inertialsystem \displaystyle S och \displaystyle S'. Partikel 1 har hastighet \displaystyle u i \displaystyle S', och partikel 2 har hastighet \displaystyle -u i \displaystyle S. Inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' har relativ hastighet \displaystyle v i \displaystyle x-riktningen. När origo i \displaystyle S och \displaystyle S' sammanfaller kolliderar partiklarna och fastnar i varandra, så att den sammansatta partikeln efter kollisionen har rörelsemängden noll i \displaystyle z-riktningen. Kravet på bevarandet av rörelsemängd i detta exempel är att totala rörelsemängden i \displaystyle z-riktningen innan kollisionen är noll i alla inertialsystem. Observerat från \displaystyle S' blir hastigheten i \displaystyle z-led hos partikeln som rör sig längs \displaystyle z-axeln i S
\displaystyle u'=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma dt}=-\frac{u}{\gamma(v)},
där \displaystyle dz'=dz enligt lorentztransformationen, och tidsdilatationen ger \displaystyle dt'=\gamma(v) dt. Innan kollisionen har partiklarna rörelsemängderna
\displaystyle p_1=\gamma(u)mu \;,\; p_2=\gamma(w)mu'=-\frac{\gamma(w)}{\gamma(v)}mu,
där \displaystyle w är totala hastigheten hos partikel 2. Låt nu \displaystyle u vara så liten att vi kan sätta \displaystyle \gamma(u)=1 och \displaystyle \gamma(w)=\gamma(v). Då blir \displaystyle p_1+p_2=0 innan kollisionen och bevarandet fungerar. Detta visar att \displaystyle \gamma behövs i definitionen \displaystyle p=\gamma mv för att kompensera för tidsdilatation.

Resonemanget ovan visar att kravet på invarians hos rörelsemängdsbevarande leder till en bonus i form av en ny bevarandelag för storheten \displaystyle \gamma m som vi nu ska studera mer i detalj. Av skäl som snart klarnar inför vi storheten
\displaystyle E = \gamma mc^2 ,
som enbart skiljer sig ifrån \displaystyle \gamma m med den konstanta faktorn \displaystyle c^2. För låga hastigheter \displaystyle v \ll c gäller nu att
\displaystyle E \approx mc^2 \left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right) = mc^2 + \frac{mv^2}{2}.
Termerna i högerledet är energin \displaystyle mc^2 som vi konstruerade i exemplet med Einsteins låda, och den andra termen känns igen som den klassiska rörelseenergin. Vi kan därför tolka den nya bevarade storheten som en energi. I vila är \displaystyle v = 0 och \displaystyle \gamma=1, och energin kallas viloenergin[def:viloenergi]
\displaystyle E = mc^2.
Bevarandelagen vi förutom rörelsemängdens bevarande i \displaystyle S behöver för att rörelsemängdens bevarande ska vara invariant är alltså inget annat än energins bevarande!

\displaystyle \boldsymbol{E=mc^2} ger bränsle till stjärnorna
Innan relativitetsteorin var stjärnljus ett mysterium. Varifrån kommer den enorma energin som utstrålas i miljarder år? Förklaringen finns i Einsteins låda som visar att massa kan omvandlas till strålningsenergi enligt \displaystyle E=mc^2. Från satellitmätningar kan den totala effekten, eller energin som utstrålas per sekund, från vår sol uppskattas till \displaystyle 3.86\cdot 10^{26} W (\displaystyle 1~\mbox{W} = 1~\mbox{J/s}). Energin kommer från fusionsreaktioner i solens kärna. Nettoresultatet av en komplex reaktionskedja är att fyra protoner går ihop till en heliumkärna (alfapartikel) varpå massan minskar med 0.7 %. Massan som omvandlas till energi per sekund kan ur \displaystyle m = E/c^2 uppskattas till fyra miljarder kilo varje sekund. Det kommer att ta ungefär 5 miljarder år innan protonerna tar slut och fusionsreaktionen slocknar. Som jämförelse kan nämnas den mest kraftfulla explosion som orsakats av människor, den sovjetiska vätebomben Tsar Bomba som sprängdes 1961, var på 50 megaton TNT eller \displaystyle 210\cdot 10^{15} J.

[ex:emc2karnkraft] \displaystyle \boldsymbol{E=mc^2} ger bränsle till kärnkraft
I ett kärnkraftverk kommer energin från en fissionsreaktion. Fusion innebär en sammanslagning av partiklar, medan fission innebär en klyvning av atomkärnan. I kärnkraftverk är bränslet uran som består av en blandning av isotoperna U-238 och U-235. U-235-atomer genomgår de fissionsreaktionerna som genererar energin. Kärnan, som består av protoner och neutroner, är instabil och sönderfaller genom att skicka ut neutroner. När neutronerna träffar andra uranatomer splittras även dessa vilket leder till en kedjereaktion som gör fissionsreaktionen självgående. Uranbränslet i reaktorn har form av pellets som packas inuti rör och placeras i en bassäng med vatten. För att kontrollera kärnreaktionen används kontrollstavar som kan skjutas in mellan bränslestavarna och då absorberar delar av neutronstrålningen som upprätthåller kedjereaktionen. Fissionsreaktionen omvandlar en liten andel viloenergi till värmeenergi enligt \displaystyle E=mc^2. Denna värme används för att koka vatten till ånga. Ångan driver en turbin som roterar en generator som genererar elektricitet. Om man någon gång i framtiden kan åstadkomma kontrollerad fusionskraft så kan det lösa problemet med energiförsörjningen eftersom fusion frigör enorma energier. Bränslet är väte som finns i vatten och är inte radioaktivt. Trots betydande forskningsansträngningar har svårigheterna hittills överträffat förväntningarna och även om framsteg gjorts kommer det troligen att ta ganska lång tid innan detta problem är löst.

Vi ska nu analysera \displaystyle E=\gamma mc^2 och komma fram till ännu en ny invariant. Ur det invarianta rumtidsintervallet \displaystyle \Delta s som ger avståndet mellan händelser kan en ny invariant kvantitet konstrueras. Ovan visades att det invarianta tidsintervallet \displaystyle d\tau uppfyller
\displaystyle dt^2 (1-v^2/c^2)=d\tau^2.
Division med \displaystyle d\tau^2 och multiplikation med \displaystyle m^2c^2 ger
\displaystyle \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 (m^2c^2-m^2v^2)=m^2c^2.
Med \displaystyle \gamma=dt/d\tau fås
\displaystyle \gamma^2m^2c^2 - p^2 = m^2c^2,
där \displaystyle p^2=\gamma^2 m^2 v^2 är längden i kvadrat av rörelsemängdsvektorn \displaystyle (p_x,p_y,p_z). Med \displaystyle E=\gamma mc^2 fås
\displaystyle E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 .
Högerledet är en konstant vars värde inte ändras vid lorentztransformationer. Alltså är uttrycket i vänsterledet en invariant som antar samma värde i alla inertialsystem, trots att både energi och rörelsemängd är systemberoende. Utöver det invarianta rumtidsintervallet har vi nu konstruerat en ny invariant: energi-rörelsemängdsinvarianten[def:energirorelsemangd] \displaystyle m^2c^4. Genom att lösa ut \displaystyle E fås ett nytt uttryck för den relativistiska energin
\displaystyle E= \gamma mc^2 = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.
Vi har redan sett att den relativistiska energin för låga hastigheter kan approximeras enligt
\displaystyle E = mc^2 + \frac{mv^2}{2} = mc^2 + \frac{p^2}{2m},
där den andra termen är den klassiska kinetiska energin. I den relativistiska gränsen \displaystyle v\approx c är det klassiska uttrycket för kinetisk energi inte längre användbart och den relativistiska kinetiska energin definieras i stället som den totala energin minus viloenergin, det vill säga
\displaystyle T=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2=(\gamma-1)mc^2.
Vid små hastigheter approximeras denna mycket väl med den klassiska kinetiska energin \displaystyle T=p^2/(2m).

Den relativistiska rörelselagen ser likadan ut som i det klassiska fallet:
\displaystyle F = \frac{dp}{dt}
med den viktiga skillnaden att det är den relativistiska rörelsemängden \displaystyle p=\gamma mv som ingår. Rörelselagen innehåller rörelsemängdens bevarande: om \displaystyle F=0 så beror \displaystyle p inte på tiden \displaystyle t.

Relativitetsteorins förutsägelse om att rörelsemängd och energi innehåller lorentzfaktorn har bekräftats direkt i många experiment. En tidig bekräftelse kom i experiment med elektronstrålar i elektriska och magnetiska fält av Kaufmann, Bucherer och andra. En praktisk tillämpning av relativitetsteorin sker dagligen i en modern variant av dessa experiment i den gamla sortens tjock-TV monitorer och i oscilloskop. Dessa innehåller ett katodstrålerör som är en elektronaccelerator från vilken elektronstrålen genererar en bild när den träffar pixlar på en fluorescerande skärm. Deflektionsmagneterna som riktar strålen mot rätt punkt på bildskärmen är konstruerade med hänsyn taget till relativistiska korrektioner.

[ex:katodstraleror] Katodstrålerör
I ett katodstrålerör accelereras en elektron över spänningen \displaystyle V=35 kV. Vad blir elektronens sluthastighet klassiskt och relativistiskt?
(a) Räkna först klassiskt. Kraften på elektronen är \displaystyle F=eE där \displaystyle e=1.6\cdot 10^{-19} C är elektronladdningen och \displaystyle E är elektriska fältet. Arbetet att flytta elektronen sträckan \displaystyle x är \displaystyle W=Fx=eEx=eV där \displaystyle V=Ex är spänningen. Energins bevarande ger att ändringen i rörelseenergi är lika med arbetet: \displaystyle \frac{1}{2}mv^2=eV där \displaystyle m=9.1\cdot 10^{-31} kg är elektronmassan. Detta ger sluthastigheten \displaystyle v=\sqrt{2eV/m}=

   1.109\cdot 10^8 m/s vilket är ungefär \displaystyle c/3. Vid dessa hastigheter är relativistiska effekter inte försumbara och behöver tas med.

(b) Räkna relativistiskt. Elektronens massa ges av viloenergin \displaystyle mc^2=511 keV (1 eV=e J) och efter att ha accelererats i fältet \displaystyle 35 kV får elektronen kinetiska energin 35 keV. Detta ger \displaystyle (\gamma-1)511=35 och \displaystyle \gamma=1.068 samt \displaystyle v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=1.056\cdot 10^8 m/s vilket är 5% mindre än den klassiska hastigheten i (a). Om den relativistiska effekten försummas kan därför inte elektronstrålen riktas mot rätt pixel och bilden blir oskarp.

Relativistiska lerklumpar
(a) Två lerklumpar med massa \displaystyle m=1 kg kolliderar. Kollisionen analyseras i ett inertialsystem där hastigheterna är lika stora, \displaystyle v=0.1c och motriktade. Efter kollisionen antas klumparna gå ihop till en sammansatt lerklump som står helt stilla. Efter kollisionen får den sammansatta lerklumpen en massa som klassiskt blir \displaystyle M=2m, men detta är inte vad som händer relativistiskt. Antag att klumpen inte strålar ut någon värmeenergi. Då omvandlas den inkommande kinetiska energin till viloenergi efter kollisionen så att \displaystyle \gamma 2mc^2=Mc^2. Detta ger massan efter kollisionen till \displaystyle M=\gamma 2m=2m/\sqrt{1-0.1^2}=2.01 kg som är större än \displaystyle 2m.
(b) Vid normala kollisionshastigheter blir massökningen försumbar. Med \displaystyle v=100 m/s blir massökningen \displaystyle M-2m=(\gamma-1)2m\approx 10^{-13}  kg.

Dynamit
När ett kilo dynamit exploderar frigörs ungefär energin \displaystyle 5\cdot 10^6 J. Explosionen är en kemisk process där en liten del viloenergi omvandlas till kinetisk energi och ljus. Minskningen i massa fås direkt ur \displaystyle E=mc^2 som ger \displaystyle m=E/c^2=5\cdot 10^6/(3\cdot 10^8)^2=6\cdot 10^{-11} kg vilket inte är mätbart. Lagen om bevarande av massa inom kemin uppfylls alltså inte exakt men ger en mycket användbar approximation. Om hela dynamitmassan skulle kunna omvandlas blir energin \displaystyle E=mc^2=1\cdot (3\cdot 10^8)^2=9\cdot 10^{16} J, vilket ungefär motsvarar energiåtgången per år för samtliga vägtransporter i Sverige.

Masslösa partiklar

Vi ska nu visa att masslösa partiklar färdas med ljusets hastighet. Energi-rörelsemängdsinvarianten med \displaystyle m=0 visar att för masslösa partiklar är sambandet mellan energi och rörelsemängd
\displaystyle E = \sqrt{p^2c^2 + m^2 c^4} = pc.
Division av relationerna \displaystyle p=\gamma m v och \displaystyle E=\gamma m c^2 ger
\displaystyle v=\frac{pc^2}{E},
eftersom den gemensamma faktorn \displaystyle \gamma m kancellerar. Med \displaystyle m=0 och \displaystyle E=pc blir hastigheten \displaystyle v=pc^2/pc=c. Alltså rör sig masslösa partiklar alltid med ljushastigheten. Ett exempel är ljus som består av masslösa partiklar som kallas fotoner och studeras inom kvantfysik. Detta är inte helt oväntat eftersom vi i exemplet med Einsteins låda använde att sambandet \displaystyle E=pc gäller för ljus enligt Maxwells ekvationer. Förutsägelsen att ljus består av partiklar gjordes 1905 av Einstein i uppsatsen om fotoelektriska effekten.

Hastighetsgränsen

En viktig förutsägelse inom relativitetsteorin är att ljushastigheten \displaystyle c även är en hastighetsgräns för relativ rörelse och en övre gräns för att skicka materia, signaler och information. I den klassiska fysiken finns ingen hastighetsgräns så detta är en avgörande skillnad mot relativitetsteorin. Vi har redan sett att masslösa partiklar alltid färdas med ljushastigheten. Vad gäller för massiva partiklar? I klassisk fysik kan i princip obegränsade hastigheter uppnås enligt Newtons rörelselag genom att accelerera partiklar i kraftfält: om \displaystyle F är en konstant kraft blir \displaystyle F=\dot{p}\Rightarrow v=p/m=Ft/m som växer obegränsat med tiden \displaystyle t. I relativitetsteorin används i stället den relativistiska kraftlagen och den relativistiska energin \displaystyle E=\gamma mc^2. Om hastigheten \displaystyle v hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem närmar sig ljushastigheten \displaystyle c ökar lorentzfaktorn obegränsat, \displaystyle \gamma\to \infty. Det skulle därför krävas obegränsat med energi för att accelerera massiva partiklar till ljusets hastighet. Alltså kan varken masslösa eller massiva partiklar ha hastigheter större än ljusets hastighet som därmed är en hastighetsgräns. Den relativistiska hastighetsgränsen sätter en gräns för hur snabbt ett rymdskepp kan färdas. Tiden att nå närmsta stjärna bortanför solen, Proxima Centauri blir minst 4 år och tiden för att nå närmsta granngalax Andromedagalaxen blir minst 2.5 miljoner år.

Experiment som påvisar en hastighetsgräns fanns inte på Newtons tid, men är vanliga idag. Hastighetsgränsen bekräftas rutinmässigt i många olika sorters experiment. Det mest slående är moderna partikelacceleratorer. Otaliga acceleratorexperiment bekräftar att partiklar inte kan accelereras till hastigheter större än ljushastigheten. I CERN:s stora accelerator LHC (Large Hadron Collider) accelereras protoner i en ring med 27 km omkrets till 99.999999 % av ljusets hastighet och kollideras med sammanlagd energi av 14 TeV \displaystyle = 14\cdot 10^{12} eV. Denna energi är ca 14000 gånger större än vad som skulle behövas enligt den klassiska mekanikens uttryck för rörelseenergin \displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2 för att accelerera protonen till ljushastigheten. Detta och många liknande experiment demonstrerar att ljusets hastighet är en hastighetsgräns för partiklar och att klassisk mekanik inte fungerar vid hastigheter nära ljushastigheten. En vanlig praktisk användning av partikelacceleratorer sker i sjukvården inom cancerbehandling. Energin för att accelerera protoner som kan tränga genom människokroppen är omkring \displaystyle 250 MeV och motsvarar hastigheten \displaystyle v=0.6c där relativistiska effekter är viktiga.

Hastighetsgränsen är ett förvirrande begrepp och vi ska diskutera flera exempel på hastigheter som kan vara större än \displaystyle c. Exemplen illustrerar olika aspekter av att hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem inte kan överstiga ljushastigheten.

Alice och Bob och hastighetsgränsen
Följande exempel visar att hastighetsgränsen och hastigheter större än ljushastigheten är inte samma sak. Alice och Bob åker i var sin rymdraket i motsatt riktning med hastighet \displaystyle v=0.8c relativt Eva som är kvar på jorden. Se figur [fig8_2_hastighetsaddition].

[fig8_2_hastighetsaddition]

Enligt Eva rör sig raketerna mot varandra med hastighet \displaystyle v=0.8c+0.8c=1.6c som verkar strida mot hastighetsgränsen. Svaret är korrekt, men det är inte hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem så hastighetsgränsen gäller inte. För att bestämma Bobs hastighet observeras från Alices inertialsystem används relativistiska hastighetsadditionsformeln. Om \displaystyle 0.8c är jordens hastighet relativt Alice och \displaystyle 0.8c är hastigheten hos Bob relativt jorden så blir Bobs hastighet relativt Alices inertialsystem \displaystyle v=\frac{0.8c+0.8c}{1+0.8c\cdot0.8c/c^2}=0.98c, som är mindre än \displaystyle c. Alltså uppfylls hastighetsgränsen.

Sax och hastighetsgräns
(a) Den relativistiska saxen är ett vanligt exempel på hastighet större än \displaystyle c. Antag att vi har en jättesax med ett ljusår långa blad och handtag som är några cm. Detta skapar en enorm hävstång. Om saxens sluts på 0.1 s så rör sig kontaktpunkten mellan saxens blad med hastigheten 10 ljusår i sekunden som är mycket större än \displaystyle c. Detta verkar strida mot hastighetsgränsen. Vad händer? Ett svar är att kontaktpunkten mellan bladen inte är ett fysikaliskt objekt så den kan i princip röra sig snabbare än \displaystyle c. Rörelsen hos fysiska objekt, här atomerna i saxen, är långsammare än \displaystyle c. Men resonemanget är trots det inte korrekt. Antagandet att bladen sluter sig när handtagen sluts stämmer inte. Relativitetsteorin begränsar i princip signalhastigheter till högst \displaystyle c. Signalen om att saxen sluts kan inte sprida sig längs bladen snabbare än \displaystyle c. Det som händer är att bladen deformeras och deformationen sprider sig långsammare än \displaystyle c. Kontaktpunkten rör sig av detta skäl inte snabbare än \displaystyle c. Rörelsen hos atomerna i saxen håller sig inom hastighetsgränsen. För ett verkligt material sprider sig deformationer med en hastighet som är mycket mindre än \displaystyle c. Hastighetsgränsen ger en ny och begränsad innebörd åt begreppet stel kropp eftersom relativistiska deformationer i princip inte går att undvika.
(b) Exemplet (a) kan enkelt modifieras så att det blir korrekt genom att studera ett liknande system i likformig rörelse som därmed undviker deformation. Studera två stavar som bildar vinkeln \displaystyle \phi=1^\circ och passerar varandra med hastighet \displaystyle v=0.1c. Se figur [fig8_stavar]. Stavarna visas som tjocka blå streck. I figuren är den horisontella staven i vila och den lutande staven rör sig nedåt. Punkten där de två stavarna möts (den röda punkten i figuren) rör sig åt höger med hastigheten \displaystyle u som fås ur figuren genom \displaystyle \cot \phi=ut/vt vilket ger \displaystyle u=0.1c \cdot \cot(1^\circ)\approx 5.7c.
(c) Det finns flera varianter av exemplet i (b). Montera en rad stroboskoplampor längs en rak linje och skicka en ljussignal längs linjen. Arrangera en mottagarkrets på varje lampa så att en ljuspuls skickas ut av lampan när ljussignalen tas emot men med en inbyggd fördröjning som minskar längs raden med lampor. Detta leder till en följd ljuspunkter som färdas snabbare än ljuset i sidled, men där ljuspunkterna från de olika stroboskoplamporna inte utgör ett enstaka fysikaliskt objekt. Denna sorts signal kan inte användas för att skicka meddelanden snabbare än \displaystyle c eftersom ljuspunkterna inte kan nå fram snabbare än den ursprungliga ljussignalen.
(d) Ännu en variant är följande. Svep en strålkastare över himlen med vinkelhastigheten \displaystyle 180^\circ per sekund så att ljusstrålen träffar månen. På månens yta som är på ungefär 400000 km avstånd blir ljuspunktens hastigheten i sidled större än \displaystyle c.

[fig8_stavar]

Sammanfattning:

• Den relativistiska rörelsemängden och energin är \displaystyle \begin{aligned}

p&=\gamma mv \\ E&=\gamma mc^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.\end{aligned}

• Viloenergin är \displaystyle E=mc^2, vilket visar att massa och viloenergi är samma sak upp till en konstant.
• Den kinetiska energin är \displaystyle T=(\gamma-1)mc^2.
• Masslösa partiklar rör sig med ljusets hastighet och har energi \displaystyle E=pc.
• Den relativistiska rörelseekvationen är \displaystyle F=dp/dt=d(\gamma mv)/dt.
• Klassiskt bevaras massa, rörelsemängd och energi. Relativistiskt bevaras rörelsemängd och energi. Massa behöver inte bevaras eftersom viloenergi kan omvandlas till andra energiformer.
• Det invarianta rumtidsintervallet i kvadrat är \displaystyle (\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2, den invarianta energi-rörelsemängden i kvadrat är \displaystyle E^2-p^2c^2=m^2c^4 och den invarianta egentiden är \displaystyle \Delta \tau=\Delta t/\gamma.

Relativistiska kollisioner och sönderfall

Läromål:

• Lorentztransformera energi och rörelsemängd för ett objekt, det vill säga beräkna ett objekts energi och rörelsemängd i olika inertialsystem givet samma storheter i ett annat.
• Känna till den allmänna lorentztransformationen och att två storheter som transformeras enligt den kan användas för att skapa en invariant storhet.
• Använda invarianter för att analysera enklare partikelsönderfall och -kollisioner.

I det föregående kapitlet resonerade vi oss fram till hur energi och rörelsemängd måste omdefinieras för att fortsatt vara bevarade storheter inom speciell relativitetsteori. I det här avsnittet kommer vi att bygga vidare på detta och lära oss använda energins och rörelsemängdens bevarande för att studera fysikaliska processer som sönderfall och relativistiska kollisioner.

Transformationer av energi och rörelsemängd

Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra.

Som vi diskuterade i kapitel [[#ch:relativistiskkinematik|]] kan energin för ett objekt med massa \displaystyle m (det vill säga viloenergi \displaystyle mc^2) i inertialsystemet \displaystyle S skrivas
\displaystyle E = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt}{d\tau},
där \displaystyle \tau är egentiden för den världslinje objektet följer. På samma sätt kan objektets rörelsemängd i \displaystyle x-riktningen skrivas
\displaystyle p = mv\gamma = m\frac{dx}{d\tau}
och motsvarande samband gäller
\displaystyle E' = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} \quad \mbox{och} \quad p' = mv\gamma = m\frac{dx'}{d\tau}
i inertialsystemet \displaystyle S'. Vi vet att \displaystyle \tau är en invariant som inte beror på inertialsystemet och behöver därför inte ange något prim för detta. Enligt lorentztransformationen av rums- och tidskoordinaterna erhålls nu
\displaystyle c\, dt' = \gamma\left(c\, dt - \frac{v}{c} dx\right) \quad \mbox{och} \quad dx' = \gamma \left( dx - \frac{v}{c} c\, dt\right),
vilket direkt kan sättas in i uttrycken för \displaystyle E' och \displaystyle p'. För \displaystyle E' leder detta till
\displaystyle E' = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} = \gamma \left(mc^2 \frac{dt}{d\tau} - mv \frac{dx}{d\tau}\right) = \gamma (E - v p )
och för \displaystyle p' fås på samma sätt
\displaystyle p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \gamma \left( m \frac{dx}{d\tau} - v m \frac{dt}{d\tau}\right) = \gamma ( p - \frac{v}{c^2} E).

Energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem är därför relaterade enligt
\displaystyle \boxed{ E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right) .}
Vi noterar att detta är på precis samma form som lorentztransformationen (se ekvation [eq:lorentztransformation]) med \displaystyle ct utbytt mot \displaystyle E och \displaystyle x utbytt mot \displaystyle pc. Dessa samband talar om för oss hur ett objekts energi och rörelsemängd i olika inertialsystem förhåller sig till varandra och definierar lorentztransformationen för energi och rörelsemängd. På precis samma sätt som lorentztransformationen kopplar samman rum och tid kopplar den alltså samman rörelsemängd och energi.

Lorentztransformationen för rörelsemängd och energi kan på ett rättframt sätt även utvidgas till de övriga två rumsdimensionerna. På samma sätt som ovan fås då \displaystyle p'_y = p_y och \displaystyle p'_z = p_z eftersom \displaystyle dy' = dy och \displaystyle dz' = dz.

En proton beskriven i olika inertialsystem
Den totala energin och rörelsemängden hos en proton i inertialsystemet \displaystyle S ges av \displaystyle E = 1.15 GeV och \displaystyle pc = -0.58 GeV. I ett inertialsystem \displaystyle S' som rör sig med hastigheten \displaystyle v = c/2 relativt \displaystyle S ges protonens energi och rörelsemängd då av lorentztransformationen

\displaystyle \begin{aligned} E' &= \frac{2}{\sqrt{3}} \left( 1.15 + \frac{1}{2} 0.58 \right) \approx 1.7~\mbox{GeV}, \\ \quad p'c &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(-0.58 - \frac{1}{2} 1.15\right) \approx -1.3~\mbox{GeV}.\end{aligned}

Som diskuterades i föregående kapitel kan vi nu finna protonens hastighet i det nya systemet genom sambandet
\displaystyle u' = \frac{p'c}{E'}c \approx \frac{1.3}{1.7} c \approx 0.76c.

Allmänna lorentztransformationer och invarianter

Vi har nu sett att lorentztransformationen kopplar ihop rörelsemängd och energi på samma sätt som den kopplar ihop rum och tid. Det visar sig att det även finns andra storheter som kopplas ihop på liknande sätt och vi kan säga att två storheter \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 uppfyller en allmän lorentztransformation om deras värden i inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' förhåller sig enligt
\displaystyle \boxed{ k_0' = \gamma \left( k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och}\quad k_1' = \gamma \left( k_1 - \frac{v}{c} k_0\right).}
I fallet med rum- och tidskoordinater har vi \displaystyle k_0 = ct och \displaystyle k_1 = x medan vi i fallet med rörelsemängd och energi har \displaystyle k_0 = E och \displaystyle k_1 = pc.

Som vi tidigare diskuterat är invarianta storheter av stor vikt inom fysiken och förutsatt att vi har storheter som transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen kan vi använda dem för att skriva ner olika invarianter. Om vi har två uppsättningar av storheter, \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 samt \displaystyle q_0 och \displaystyle q_1, som uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller det att \displaystyle \begin{aligned} k_0' q_0' - k_1' q_1' &= \gamma^2 \left(k_0 -\frac{v}{c} k_1\right)\left(q_0 -\frac{v}{c} q_1\right) - \gamma^2 \left(k_1 -\frac{v}{c} k_0\right)\left(q_1 -\frac{v}{c} q_0\right) \nonumber \\ &= \gamma^2 \left[k_0q_0 - \frac{v}{c}(k_0q_1 + q_0k_1) + \frac{v^2}{c^2}k_1q_1\right. \nonumber \\ & \phantom{= \gamma^2 [} \left. - k_1q_1 + \frac{v}{c}(k_1q_0 + k_0q_1) - \frac{v^2}{c^2} k_0 q_0\right] \nonumber \\ &= \gamma^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) (k_0q_0 - k_1 q_1) = k_0q_0 - k_1 q_1,\end{aligned} det vill säga uttrycket \displaystyle k_0q_0 - k_1q_1 är just en invariant som tar samma värde i alla inertialsystem. Detta är ett ytterst användbart samband, speciellt då vi ofta kommer kunna uttrycka \displaystyle k_0, \displaystyle k_1, \displaystyle q_0 och \displaystyle q_1 på olika sätt i olika inertialsystem och därigenom kunna relatera storheter i olika inertialsystem med varandra. Hur detta fungerar kommer att visas mer konkret inom kort. Vi kan beteckna ett par av storheter \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 som uppfyller den allmänna lorentztransformationen med \displaystyle k = (k_0,k_1) och införa en beteckning för invarianten ovan enligt
\displaystyle \boxed{k\cdot q = (k_0,k_1)\cdot(q_0,q_1) = k_0 q_0 - k_1 q_1.}
Minustecknet är här nödvändigt för att storheten ska vara invariant och har samma ursprung som minustecknet i det invarianta rumtidsintervallet. Denna definition kommer att avsevärt underlätta vår notation i den återstående delen av detta kapitel. När vi arbetar med tre rumsdimensioner kommer storheterna \displaystyle k_1 och \displaystyle q_1 att bytas ut mot tredimensionella vektorer \displaystyle \vec k=(k_1,k_2,k_3) och \displaystyle \vec q = (q_1,q_2,q_3) och produkten \displaystyle k_1 q_1 kommer att bytas ut mot skalärprodukten
\displaystyle \vec k \cdot \vec q = k_1 q_1 + k_2 q_2 + k_3 q_3.

Energi, rörelsemängd och massa
I fallet med ett objekts rörelsemängd och energi kan vi välja \displaystyle k_0 = q_0 = E och \displaystyle k_1 = q_1 = pc samt införa beteckningen \displaystyle P = (E, pc). Storheten \displaystyle k_0q_0 - k_1 q_1 = P\cdot P ges då av
\displaystyle P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = m^2c^4 \gamma^2 - m^2 c^2 v^2 \gamma^2 = m^2 c^4 \gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = m^2 c^4.
Invarianten som fås genom detta är således objektets viloenergi i kvadrat som således kan räknas ut genom att ställa upp uttrycket \displaystyle E^2 - p^2 c^2 i ett godtyckligt inertialsystem, precis som vi kom fram till i föregående kapitel. Objektet \displaystyle P = (E,pc) som innehåller ett objekts energi och rörelsemängd kallas för objektets 4-rörelsemängd.

Det bör också nämnas att om vi har två uppsättningar av storheter som transformeras enligt den allmänna lorentztransformationen så kommer även deras summa och differens att göra det. Detta fås direkt ur
\displaystyle k'_0 \pm q'_0 = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c}k_1\right) \pm \gamma \left(q_0 - \frac{v}{c}q_1\right) = \gamma \left[(k_0\pm q_0) - \frac{v}{c} (k_1\pm q_1)\right]
och motsvarande betraktande för \displaystyle k'_1 \pm q'_1.

En summa av energier och rörelsemängder
Om vi betraktar två objekt med energierna \displaystyle E_1 respektive \displaystyle E_2 samt rörelsemängderna \displaystyle p_1 respektive \displaystyle p_2 så gäller det att den totala energin \displaystyle E = E_1 + E_2 och den totala rörelsemängden \displaystyle p = p_1 + p_2 uppfyller den allmänna lorentztransformationen

\displaystyle E' = E'_1 + E'_2 = \gamma \left[ E_1+E_2 - v (p_1+p_2)\right] = \gamma ( E - v p)
samt
\displaystyle p' = p'_1 + p'_2 = \gamma \left[p_1 + p_2 - \frac{v}{c^2}(E_1 + E_2)\right] = \gamma\left( p - \frac{v}{c^2}E\right).

Konsekvenser

Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid partikelacceleratorer som Large Hadron Collider vid CERN.

Sönderfall [sec:sonderfall]

Vi börjar med att studera en sönderfallande partikel med massan \displaystyle M och antar att denna sönderfaller till två partiklar med massorna \displaystyle m_1 respektive \displaystyle m_2. I ett godtyckligt inertialsystem kan vi beteckna den ursprungliga partikelns energi \displaystyle E och dess rörelsemängd \displaystyle p samtidigt som vi betecknar dotterpartiklarnas energier \displaystyle E_1 respektive \displaystyle E_2 och deras rörelsemängder \displaystyle p_1 respektive \displaystyle p_2. Energins och rörelsemängdens bevarande talar nu om för oss att energin före sönderfallet är lika med energin efter
\displaystyle E = E_1 + E_2
samt att rörelsemängden före sönderfallet är lika med rörelsemängden efter
\displaystyle p = p_1 + p_2.
Samtidigt vet vi att 4-rörelsemängderna \displaystyle P = (E,pc), \displaystyle P_1 = (E_1,p_1c) och \displaystyle P_2 = (E_2,p_2c) alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen vid byte av inertialsystem. Vi kan använda oss av detta för att dra fysikaliska slutsatser från beräkningen av ett antal invarianter.

[ex:partikelsonderfall] En partikel sönderfaller
Bevarandet av rörelsemängd och energi leder till att \displaystyle P = (E,pc) = (E_1+E_2,p_1c + p_2c) = P_1 + P_2. Om vi nu beräknar invarianten \displaystyle P\cdot P erhålls
\displaystyle P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = M^2 c^4,
vilket vi redan är bekanta med. Genom att uttrycka ett av våra \displaystyle P i termer av energin och rörelsemängden efter sönderfallet får vi också
\displaystyle P\cdot P = E(E_1 + E_2) - c^2 p(p_1 + p_2) = M^2 c^4.
Eftersom det rör sig om en invariant så beror dess värde inte på vilket inertialsystem som används för att beräkna den. Speciellt kan vi beräkna invarianten i den ursprungliga partikelns vilosystem där \displaystyle p = 0 och \displaystyle E = Mc^2, vilket ger
\displaystyle M^2 c^4 = Mc^2 (m_1c^2\gamma_1 + m_2c^2\gamma_2) \quad \Longrightarrow \quad M= m_1 \gamma_1 + m_2 \gamma_2 ,
där \displaystyle \gamma_1 och \displaystyle \gamma_2 är dotterpartiklarnas lorentzfaktorer i detta system. Eftersom \displaystyle \gamma_i \geq 1 erhålls därigenom
\displaystyle M \geq m_1 + m_2,
det vill säga för att sönderfallet ska kunna inträffa är summan av dotterpartiklarnas massor maximalt lika med den sönderfallande partikelns massa.

Ibland sönderfaller partiklar inte bara till två dotterpartiklar utan till tre eller fler. Samma idé går då att applicera på sådana sönderfall och den viktiga punkten är att både rörelsemängden och energin måste bevaras samt att vi kan skapa invarianta storheter som antar samma värde i alla inertialsystem.

En maximal elektronenergi
Vi kan studera neutronsönderfallet \displaystyle n \to p + e^- + \nu där en neutron \displaystyle n sönderfaller till en proton \displaystyle p, en elektron \displaystyle e^- och en neutrino \displaystyle \nu. Vi kan notera alla 4-rörelsemängder \displaystyle P_i = (E_i, \vec p_i) där \displaystyle i överallt kan bytas ut mot motsvarande partikelbeteckning.

Bevarandet av rörelsemängd och energi ger oss nu att
\displaystyle P_n = (E_n,\vec p_n) = (E_p+E_e+E_\nu,\vec p_p + \vec p_e + \vec p_\nu) = P_p + P_e + P_\nu.
Vi kan ställa oss frågan vad den maximala energin hos elektronen som sönderfallet resulterar i är i neutronens vilosystem. Detta kan lösas genom att vi subtraherar \displaystyle P_e på båda sidor av rörelsemängdens och energins bevarande och får
\displaystyle P = P_n - P_e = (E_n-E_e, \vec p_n - \vec p_e) = P_p + P_\nu,
där \displaystyle P är skillnaden mellan neutronens och elektronens 4-rörelsemängder. I neutronens vilosystem gäller att \displaystyle E_n = m_n c^2, \displaystyle \vec p_n = 0 samt att \displaystyle E_e är den sökta elektronenergin. Vi beräknar nu
\displaystyle P\cdot P = (m_n c^2 - E_e)^2 - \vec p_e^{\,2} = m_n^2 c^4 - 2E_e m_nc^2 + m_e^2 c^4.
På grund av rörelsemängden och energins bevarande vet vi att detta också kan beräknas enligt
\displaystyle P\cdot P = (P_p + P_\nu) \cdot (P_p + P_\nu),
men eftersom \displaystyle P\cdot P är en invariant behöver vi inte beräkna detta i samma inertialsystem eftersom en invariant har samma värde i alla inertialsystem. Vi kan därför välja att i stället beräkna högerledet i protonens vilosystem \displaystyle S' där \displaystyle E'_p = m_p c^2, \displaystyle \vec p_p = 0 vilket ger
\displaystyle P\cdot P = (m_pc^2 + E'_\nu)^2 - \vec p_\nu^{\,2} = m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4,
där vi kan lösa ut
\displaystyle E_e = \frac{m_n^2 c^4 - (m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4)}{2m_n c^2}.
Eftersom \displaystyle E'_\nu = m_\nu \gamma c^2 \geq m_\nu c^2 kan detta skrivas som en olikhet
\displaystyle E_e \leq \frac{m_n^2 c^4 - (m_p c^2 + m_\nu c^2)^2}{2m_n c^2}.
Även om neutriner har en nollskild massa (en upptäckt som resulterade i Nobelpriset 2015) är denna så liten att den oftast är praktiskt sett försumbar. I dessa situationer kan vi approximera resultatet genom att sätta \displaystyle m_\nu \simeq 0 och då i stället erhålla
\displaystyle E_e \lesssim \frac{m_n^2 c^2 - m_p^2 c^2}{2m_n}.

Kollisioner

Energin och rörelsemängden bevaras inte bara i partikelsönderfall utan även då partiklar kolliderar med varandra, som exempelvis vid partikelacceleratorn LHC vid CERN, men det finns även andra tillämpningar där relativitetsteori kan appliceras. Grundprincipen är att summan av de inkommande rörelsemängderna och energierna alltid måste vara lika med de utgående. Schematiskt kan vi skriva detta som
\displaystyle E_{\rm in} = E_{\rm ut} \quad \mbox{och} \quad \vec p_{\rm in} = \vec p_{\rm ut}.
Om vi har två partiklar som kolliderar och kollisionen resulterar i tre andra partiklar så kommer detta kunna skrivas
\displaystyle E_1 + E_2 = E_3 + E_4 + E_5, \quad \vec p_1 + \vec p_2 = \vec p_3 + \vec p_4 + \vec p_5,
där vi betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 till 5. Motsvarande samband kan också ställas upp med andra antal inkommande och utgående partiklar.

Ett vanligt förekommande specialfall inträffar då vi har två inkommande och två utgående partiklar, så kallad 2-till-2-spridning, se figur [fig:2till2].

Om vi återigen betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 och 4 så ges rörelsemängdens och energins bevarande av sambandet
\displaystyle P_1 + P_2 = P_3 + P_4,
där \displaystyle P_i = (E_i, p_i c) är 4-rörelsemängden för partikel \displaystyle i. Genom att lägga till eller dra bort 4-rörelsemängder på båda sidor av likheten kan vi erhålla andra samband som alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen. Exempelvis kan vi dra bort \displaystyle P_3 från båda sidorna och på så sätt erhålla
\displaystyle P_1 + P_2 - P_3 = (E_1+E_2-E_3,\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3) = P_4 = (E_4, \vec p_4).
Genom att studera invarianten \displaystyle P_4 \cdot P_4 kan vi sluta oss till att
\displaystyle P_4\cdot P_4 = m_4^2 c^4 = (E_1+E_2-E_3)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3)^2.
Det går också alldeles utmärkt att använda sig av sambandet
\displaystyle P_i \cdot (P_j + P_k) = P_i \cdot P_j + P_i \cdot P_k
vilket följer ur \displaystyle \begin{aligned} (E_i, \vec p_i c) \cdot (E_j+E_k,\vec p_j+ \vec p_k) &= E_i(E_j + E_k) - \vec p_i \cdot (\vec p_j + \vec p_k) \nonumber \\ &= (E_i E_j - \vec p_i \cdot \vec p_j) + (E_i E_k - \vec p_i \cdot \vec p_k) \nonumber \\ &= P_i\cdot P_j + P_i \cdot P_k.\end{aligned} Med hjälp av detta kan vi skriva om \displaystyle \begin{aligned} P_4 \cdot P_4 &= (P_1+P_2-P_3)\cdot(P_1+P_2-P_3) \nonumber \\ &= P_1\cdot P_1 + P_2\cdot P_2 + P_3\cdot P_3 +2P_1\cdot P_2 - 2P_1 \cdot P_3 - 2P_2\cdot P_3 \nonumber \\ &= (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2)c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2\cdot P_3).\end{aligned} Alla de tre kvarvarande invarianterna kan här beräknas i godtyckligt inertialsystem just eftersom de är invarianter.

Comptonspridning
Typexemplet på en 2-till-2-kollision är så kallad comptonspridning där en foton med en given energi \displaystyle E_0 kolliderar med en elektron i vila i laboratoriesystemet \displaystyle S och resulterar i att fotonen deflekteras med en vinkel \displaystyle \theta, se figur [fig:compton].

Vi ställer oss frågan vad den nya fotonens energi är i \displaystyle S och kan direkt applicera ovanstående resonemang. Vi låter den inkommande fotonen vara partikel 1 och den utgående partikel 3 medans den ursprungliga elektronen är partikel 2 och den utgående är partikel 4. Detta leder till att \displaystyle m_1 = m_3 = 0 och att \displaystyle m_2 = m_4 = m_e där \displaystyle m_e är elektronmassan. Vår argumentation leder nu till att
\displaystyle m_e^2 c^4 = m_e^2 c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2 \cdot P_3) \quad \Longrightarrow \quad P_1 \cdot P_2 = (P_1 + P_2) \cdot P_3.
Då vi är ute efter att uttrycka \displaystyle E i termer av \displaystyle E_0 beräknar vi alla dessa storheter i systemet \displaystyle S där
\displaystyle P_1 = (E_0, \vec p_1), \quad P_2 = (m_ec^2, 0), \quad P_3 = (E, \vec p_3).
Vi noterar även att i detta inertialsystem har rörelsemängderna \displaystyle \vec p_1 och \displaystyle \vec p_3 komponenterna
\displaystyle p_{1x} = E_0, \ p_{1y} = 0, \ p_{1z} = 0 \ p_{3x} = E\cos(\theta), \ p_{3y} = E\sin(\theta), \ p_{3z} = 0.
Detta leder till \displaystyle \begin{aligned} P_1 \cdot P_2 &= E_0 m_ec^2 = (P_1+P_2)\cdot P_3 = [(E_0 + m_ec^2) - E_0 \cos(\theta)]E \nonumber \\ &= E[m_ec^2 + E_0(1-\cos(\theta))].\end{aligned} Löser vi ut \displaystyle E ur detta erhålls
\displaystyle E = \frac{E_0}{1 + \frac{E_0}{m_ec^2}[1-\cos(\theta)]}.
Detta uttryck kallas för comptonformeln och verifierades experimentellt 1923 av Arthur Holly Compton, efter vilken formeln uppkallats. För detta tilldelades Compton Nobelpriset år 1927.

Sammanfattning:

• Energin och rörelsemängden för ett objekt i inertialsystemen \displaystyle S och \displaystyle S' förhåller sig till varandra enligt \displaystyle E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad

p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right). Detta är lorentztransformationen för energi och rörelsemängd.

• Om storheterna \displaystyle k_0 och \displaystyle k_1 transformeras enligt \displaystyle k_0' = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och} \quad

k_1' = \gamma \left(k_1 - \frac{v}{c} k_0\right) vid byte av inertialsystem sägs de uppfylla den allmänna lorentztransformationen. Ett sådant par av storheter kan med fördel skrivas som \displaystyle k = (k_0,k_1).

• För energin \displaystyle E och rörelsemängden \displaystyle p hos ett objekt definierar vi 4-rörelsemängden \displaystyle P = (E,pc) som uppfyller den allmänna lorentztransformationen.
• Om två par av storheter \displaystyle k = (k_0,k_1) och \displaystyle q = (q_0,q_1) uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller att \displaystyle k\cdot q = k_0 q_0 - k_1 q_1 = k'_0 q'_0 - k'_1 q'_1 = k'\cdot q'. Storheten \displaystyle k\cdot q beror därför inte på vilket inertialsystem det evalueras i och kallas för en invariant.
• Vi kan med fördel använda oss av invarianter för att studera sönderfall och kollisioner med hjälp av relativitetsteori.

Matematiska formler

Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasiets eller universitetets matematikkurser.

Pythagoras sats och vektorer

Pythagoras sats säger att sidlängderna \displaystyle a,b,c i en rätvinklig triangel med \displaystyle c som den längsta sidan uppfyller
\displaystyle c^2=a^2+b^2.
Detta kan användas för att bestämma längden hos en vektor, till exempel positionsvektorn \displaystyle \vec{r}=(x,y,z). Längden i kvadrat blir summan av kvadraterna av koordinaterna
\displaystyle r^2=x^2+y^2+z^2.
Hastigheten i tre dimensioner är derivatan av positionsvektorn med avseende på tiden, \displaystyle d\vec{v}=d\vec{r}/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt). Kvadraten av hastigheten blir
\displaystyle v^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2.
Konjugatregeln

Uttrycket \displaystyle a^2 - b^2 kan faktoriseras enligt
\displaystyle a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
för godtyckliga \displaystyle a och \displaystyle b. Detta följer ur
\displaystyle (a+b)(a-b) = (a+b)a - (a+b)b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2.
Approximationer

Vi behöver flera approximationer. I matematiken härleds dessa ofta med hjälp av Taylors formel men vi ska ge en enklare algebraisk härledning. För små värden på \displaystyle x så att \displaystyle x\ll 1 gäller följande approximation:
\displaystyle \sqrt{1+x}\approx 1+x/2.
För att härleda uttrycket kvadrerar vi högerledet och bortser från \displaystyle x^2-termer och högre potenser av \displaystyle x om sådana finns:
\displaystyle (1+x/2)^2=1+x+(x/2)^2 \approx 1+x \Rightarrow \sqrt{1+x}\approx 1+x/2
eftersom \displaystyle x^2 kan försummas jämfört med \displaystyle x då \displaystyle x \ll 1. Vi kommer även använda approximationen
\displaystyle \frac{1}{1+x} \approx 1-x,
som följer ur betraktandet \displaystyle (1-x)(1+x)=1-x^2 \approx 1. En annan viktig approximation används när vi studerar rotuttrycket
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-x/2.
Detta kan härledas enligt \displaystyle 1/\sqrt{1+x} \approx 1/(1+x/2) \approx 1-x/2. I samtliga formler ovan kan \displaystyle x byta tecken eller bytas mot \displaystyle x^2. Exempel:
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\approx 1+x^2/2
Derivator

Derivatan av en funktion \displaystyle f definieras som
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},
där intervallet \displaystyle \Delta x ska gå mot noll. Exempel: en rät linje med riktningskoefficient eller lutningen \displaystyle k har ekvationen \displaystyle f(x)=kx+l och derivatan blir
\displaystyle \frac{df}{dx} =\frac{[k(x+\Delta x)+l]-[kx+l]}{\Delta x} =k.
Alltså är derivatan lika med lutningen. För en ickelinjär funktion är derivatan i punkten \displaystyle x lika med tangentens lutning och varierar med \displaystyle x. Exempel: för \displaystyle f=x^2 blir
\displaystyle \frac{df}{dx} =\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =\frac{x^2+2x\Delta x+ (\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} =2x+\Delta x=2x
eftersom \displaystyle \Delta x-termen går mot noll. Vi behöver ett resultat till som vi ska använda utan härledning. Derivatan ovan är ett specialfall av deriveringsregeln
\displaystyle \frac{dx^y}{dx}=yx^{y-1},
där \displaystyle y inte behöver vara ett heltal. Vi behöver även derivera sammansatta funktioner av typ \displaystyle f(g(x)) vilket görs med kedjeregeln
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}.
Exempel: bestäm derivatan av \displaystyle f(x)=1/\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{-1/2}. Kedjeregeln med \displaystyle f(g)=g^{-1/2} och \displaystyle g(x)=1-x^2 ger
\displaystyle \frac{df}{dx} =-\frac{1}{2}g^{-3/2}\cdot(-2x) =\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.
Kedjeregeln kan även skrivas
\displaystyle \frac{df}{dx}=\frac{df/dg}{dx/dg},
där vi utnyttjat formeln för derivatan av en invers funktion: \displaystyle dg/dx=1/(dx/dg).

Grekiska bokstäver

Många fysikaliska storheter betecknas med bokstäver från det grekiska alfabetet, så även storheter som förekommer inom speciell relativitetsteori. Det grekiska alfabetet är: