4.2 Trigonometriska funktioner

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Känna till be...)
Nuvarande version (29 augusti 2013 kl. 18.32) (redigera) (ogör)
 
(4 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 1: Rad 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Mall:Vald flik|[[4.2 Trigonometriska funktioner|Teori]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[4.2 Övningar|Övningar]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
 +
|}
 +
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
Rad 26: Rad 33:
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och kateterna a och b}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och kateterna a och b}}
 +
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
<math>\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}</math>
<math>\tan u = \displaystyle \frac{a}{b}</math>
Rad 49: Rad 57:
och eftersom <math>\tan 40^\circ \approx 0{,}84</math> så är
och eftersom <math>\tan 40^\circ \approx 0{,}84</math> så är
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
-
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
+
x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84
-
= 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
+
= 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
Rad 91: Rad 99:
Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är <math>\cos u = b/c</math> ("cosinus av <math>u</math>") och <math>\sin u = a/c</math> ("sinus av <math>u</math>").
Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är <math>\cos u = b/c</math> ("cosinus av <math>u</math>") och <math>\sin u = a/c</math> ("sinus av <math>u</math>").
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidorna a, b och c}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidorna a, b och c}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| valign="center" |
| valign="center" |
<math>\begin{align*}
<math>\begin{align*}
Rad 102: Rad 111:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
 +
</center>
Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln <math>u</math>.
Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln <math>u</math>.
Rad 114: Rad 124:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidor 3, 4 och 5}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln u och sidor 3, 4 och 5}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
 +
| width="85%" align="left" valign="top" |
I triangeln till vänster är
I triangeln till vänster är
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
Rad 122: Rad 134:
\sin u &= \tfrac{3}{5}
\sin u &= \tfrac{3}{5}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
 +
|-
 +
| height="10px" |
|-
|-
|valign="top"|
|valign="top"|
Rad 127: Rad 141:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 38° och sidor x och 5}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 38° och sidor x och 5}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
 +
| width="85%" align="left" valign="top" |
Definitionen av sinus ger att
Definitionen av sinus ger att
{{Fristående formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\sin 38^\circ = \frac{x}{5}</math>}}
och vet vi att <math>\sin 38^\circ \approx 0{,}616</math> så får vi att
och vet vi att <math>\sin 38^\circ \approx 0{,}616</math> så får vi att
{{Fristående formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}</math>}}
 +
|-
 +
| height="10px" |
|-
|-
|valign="top"|
|valign="top"|
Rad 139: Rad 157:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
 +
| width="5%" |
|align="left" valign="top"|
|align="left" valign="top"|
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 34° och sidor 3 och x}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkeln 34° och sidor 3 och x}}
-
|width="100%" align="left" valign="top"|
+
| width="10%" |
 +
| width="85%" align="left" valign="top" |
Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan
Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan
{{Fristående formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}</math>}}
Rad 158: Rad 178:
Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas
Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½, x och 1}}
{{:4.2 - Figur - Rätvinklig triangel med vinkel u och sidor ½, x och 1}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
<math>1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>
|}
|}
 +
</center>
och därför är <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
och därför är <math>\sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
Rad 179: Rad 201:
Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.
Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.
 +
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetskvadrater}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetskvadrater}}</center>
 +
Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd <math>x</math>,
Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd <math>x</math>,
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
-
x^2 = 1^2 + 1^2
+
x^2 = 1^2 + 1^2
-
\quad \Leftrightarrow \quad
+
\quad \Leftrightarrow \quad
-
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}</math>}}
I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln <math>45^\circ</math>.
I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln <math>45^\circ</math>.
 +
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:4.2 - Figur - Enhetskvadrat vars halva är en rätvinklig triangel}}
{{:4.2 - Figur - Enhetskvadrat vars halva är en rätvinklig triangel}}
-
| width="20px" |
+
| width="30px" |
| align="left" valign="center" |
| align="left" valign="center" |
<math>\begin{align*}
<math>\begin{align*}
Rad 202: Rad 228:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
 +
</center>
 +
</div>
</div>
Rad 208: Rad 236:
Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.
Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.
 +
<center>{{:4.2 - Figur - Två liksidiga trianglar}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Två liksidiga trianglar}}</center>
 +
Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Från en triangelhalva får vi att
Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är <math>x=\sqrt{3}/2</math>. Från en triangelhalva får vi att
 +
 +
<center>
{|
{|
|-
|-
Rad 231: Rad 263:
\end{align*}</math>
\end{align*}</math>
|}
|}
 +
</center>
 +
</div>
</div>
Rad 241: Rad 275:
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
-
| width="100%" |
+
| width="90%" valign="center"|
De trigonometriska funktionerna <math>\cos u</math> och <math>\sin u</math> är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln <math>u</math> med den positiva ''x''-axeln.
De trigonometriska funktionerna <math>\cos u</math> och <math>\sin u</math> är ''x''- respektive ''y''-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln <math>u</math> med den positiva ''x''-axeln.
 +
| width="10%" |
| align="right" valign="center" |
| align="right" valign="center" |
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln u och punkten (cos u, sin u)}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln u och punkten (cos u, sin u)}}
Rad 266: Rad 301:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
-
|align="left" valign="center"|
+
|align="right" valign="center"|
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 104° och punkten (-0,24; 0,97)}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 104° och punkten (-0,24; 0,97)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
Rad 280: Rad 315:
<li></li>
<li></li>
</ol>
</ol>
-
|align="left" valign="center"|
+
|align="right" valign="center"|
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 201° och punkten (-0,93; -0,36)}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 201° och punkten (-0,93; -0,36)}}
| width="10%" |
| width="10%" |
Rad 298: Rad 333:
{| width="100%"
{| width="100%"
|-
|-
-
|width="100%"|
+
|width="95%"|
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>\cos 209^\circ</math>
<li><math>\cos 209^\circ</math>
Rad 305: Rad 340:
Eftersom vinkeln <math>209^\circ</math> kan skrivas som <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ ''x''-koordinat, vilket betyder att <math>\cos 209^\circ</math> är negativ.</li>
Eftersom vinkeln <math>209^\circ</math> kan skrivas som <math>209^\circ = 180^\circ + 29^\circ</math> så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ ''x''-koordinat, vilket betyder att <math>\cos 209^\circ</math> är negativ.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
 +
| align="right" |
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 209° och linjen x = cos 209°}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 209° och linjen x = cos 209°}}
|-
|-
-
|width="100%"|
+
| width="95%" |
<ol type="a" start="2">
<ol type="a" start="2">
<li><math>\sin 133^\circ</math>
<li><math>\sin 133^\circ</math>
Rad 315: Rad 351:
Vinkeln <math>133^\circ</math> är lika med <math>90^\circ + 43^\circ</math> och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv ''y''-koordinat och därför är <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
Vinkeln <math>133^\circ</math> är lika med <math>90^\circ + 43^\circ</math> och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv ''y''-koordinat och därför är <math>\sin 133^\circ</math> positiv.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
 +
| align="right" |
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 133° och linjen y = sin 133°}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln 133° och linjen y = sin 133°}}
|-
|-
-
|width="100%"|
+
| width="95%" |
<ol type="a" start="3">
<ol type="a" start="3">
<li><math>\tan (-40^\circ)</math>
<li><math>\tan (-40^\circ)</math>
Rad 325: Rad 362:
Ritas vinkeln <math>-40^\circ</math> in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. <math>\tan (-40^\circ)</math> är negativ.</li>
Ritas vinkeln <math>-40^\circ</math> in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. <math>\tan (-40^\circ)</math> är negativ.</li>
</ol>
</ol>
-
|align="right"|
+
| width="5%" |
 +
| align="right" |
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln -40° och linjen med riktningskoefficient tan -40°}}
{{:4.2 - Figur - Enhetscirkeln med vinkeln -40° och linjen med riktningskoefficient tan -40°}}
|}
|}
Rad 338: Rad 376:
Omskrivningen
Omskrivningen
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
-
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
+
\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}
-
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
+
= \frac{3\pi+ \pi}{6}
-
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
+
= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
visar att vinkeln <math>2\pi/3</math> hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln <math>\pi/6</math> med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att <math>2\pi/3</math>-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. Alltså är
visar att vinkeln <math>2\pi/3</math> hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln <math>\pi/6</math> med den positiva ''y''-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att <math>2\pi/3</math>-punkten på enhetscirkeln har en ''y''-koordinat som är lika med den närliggande kateten <math>\cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2</math>. Alltså är
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
-
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}</math>}}
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetscirklar med vinkeln 2π/3 (vinkeln π/6 mot y-axeln)}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Två enhetscirklar med vinkeln 2π/3 (vinkeln π/6 mot y-axeln)}}</center>
Rad 353: Rad 391:
I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.
I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.
 +
<center>{{:4.2 - Figur - Sinuskurva}}</center>
<center>{{:4.2 - Figur - Sinuskurva}}</center>
Rad 363: Rad 402:
<center><small>Grafen till tangensfunktionen</small></center>
<center><small>Grafen till tangensfunktionen</small></center>
-
I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är
+
 
 +
I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är:
*Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på <math>2\pi</math>, dvs. det gäller att <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> och <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. I enhetscirkeln motsvarar <math>2\pi</math> ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.
*Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på <math>2\pi</math>, dvs. det gäller att <math>\cos (x+2\pi) = \cos x</math> och <math>\sin (x+2\pi) = \sin x</math>. I enhetscirkeln motsvarar <math>2\pi</math> ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.
Rad 369: Rad 409:
*Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på <math>\pi</math>, dvs. <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Två vinklar som skiljer sig åt med <math>\pi</math> ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.
*Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på <math>\pi</math>, dvs. <math>\tan (x+\pi) = \tan x</math>. Två vinklar som skiljer sig åt med <math>\pi</math> ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.
-
*Förutom en fasförskjutning på <math>\pi/2</math> är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; mer om detta i nästa kapitel.
+
*Förutom en fasförskjutning på <math>\pi/2</math> är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. <math>\cos x = \sin (x+ \pi/2)</math>; mer om detta i nästa avsnitt.
Rad 388: Rad 428:
[[4.2 Övningar|Övningar]]
[[4.2 Övningar|Övningar]]
-
<div class="inforuta">
+
<div class="inforuta" style="width:580px;">
'''Råd för inläsning'''
'''Råd för inläsning'''
Rad 409: Rad 449:
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
-
[http://dooku.miun.se/per.edstrom/interaktiv_matematik/trigonometri/cos_even.html Läs mer om Trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"]
+
[http://apachepersonal.miun.se/~pere/interaktiv_matematik/trigonometri/index.html Läs mer om trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"]
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia]
[http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_function Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia]

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • De trigonometriska funktionerna cosinus, sinus och tangens.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Känna till begreppen spetsig, trubbig och rät vinkel.
  • Förstå definitionen av cosinus, sinus och tangens i enhetscirkeln.
  • Utantill kunna värdena på cosinus, sinus och tangens för standardvinklarna \displaystyle 0, \displaystyle \pi/6 , \displaystyle \pi/4 , \displaystyle \pi/3 och \displaystyle \pi/2.
  • Bestämma värdena på cosinus, sinus och tangens för argument som kan reduceras till standardvinklarna i någon kvadrant av enhetscirkeln.
  • Skissera graferna till cosinus, sinus och tangens.
  • Lösa trigonometriska problem som involverar rätvinkliga trianglar.

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

I den rätvinkliga triangeln nedan kallas kvoten mellan den motstående kateten \displaystyle a och den närliggande kateten \displaystyle b för tangens av vinkeln \displaystyle u och betecknas \displaystyle \tan u.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{a}{b}

Värdet på kvoten \displaystyle \frac{a}{b} är inte beroende av storleken på triangeln utan bara på vinkeln \displaystyle u. För olika värden på vinkeln kan man få fram motsvarande tangensvärde antingen i en trigonometrisk tabell eller genom att använda en miniräknare (knappen heter ofta tan).

Exempel 1

Hur hög är flaggstången?

[Image]

Flaggstången och dess skugga bildar tillsammans en rätvinklig triangel där den vertikala kateten är okänd (markerad med \displaystyle x nedan).

[Image]

Från definitionen av tangens har vi att

\displaystyle \tan 40^\circ = \frac{x}{5 \mbox{ m }}

och eftersom \displaystyle \tan 40^\circ \approx 0{,}84 så är

\displaystyle

x = 5\,\mbox{m} \cdot \tan 40^\circ \approx 5\,\mbox{m} \cdot 0{,}84 = 4{,}2\,\mbox{m}\,\mbox{.}

Exempel 2

Bestäm längden av sidan markerad med \displaystyle x i figuren.

[Image]

Om vi kallar vinkeln längst till vänster för \displaystyle u så finns det två sätt att ställa upp ett uttryck för \displaystyle \tan u.

[Image]

\displaystyle \tan u = \displaystyle \frac{22}{40}

[Image]

\displaystyle \tan u = \dfrac{x}{60}

Sätter vi de två uttrycken för \displaystyle \tan u lika fås

\displaystyle \frac{22}{40} = \frac{x}{60}

vilket ger att \displaystyle x=60 \cdot \displaystyle \frac{22}{40} = 33.

Det finns två andra kvoter i rätvinkliga trianglar som har speciella namn och det är \displaystyle \cos u = b/c ("cosinus av \displaystyle u") och \displaystyle \sin u = a/c ("sinus av \displaystyle u").

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos u &= \frac{b}{c}\\[8pt] \sin u &= \frac{a}{c} \end{align*}

Precis som för tangens är kvoterna som definierar cosinus och sinus inte beroende av triangelns storlek utan bara på vinkeln \displaystyle u.

Exempel 3

[Image]

I triangeln till vänster är

\displaystyle \begin{align*}

\cos u &= \tfrac{4}{5}\\[6pt] \sin u &= \tfrac{3}{5} \end{align*}

[Image]

Definitionen av sinus ger att

\displaystyle \sin 38^\circ = \frac{x}{5}

och vet vi att \displaystyle \sin 38^\circ \approx 0{,}616 så får vi att

\displaystyle x = 5 \cdot \sin 38^\circ \approx 5 \cdot 0{,}616 \approx 3{,}1\,\mbox{.}

[Image]

Cosinus är kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan

\displaystyle \cos 34^\circ = \frac{3}{x}\,\mbox{.}

Alltså är

\displaystyle x=\frac{3}{\cos 34^\circ}\,\mbox{.}

Exempel 4

Bestäm \displaystyle \sin u i triangeln

[Image]

Med hjälp av Pythagoras sats kan kateten till höger bestämmas

[Image]

\displaystyle 1^2= \bigl( \tfrac{1}{2} \bigr)^2 + x^2 \quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{\sqrt{3}}{2}

och därför är \displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}.


Några standardvinklar

För vissa vinklar 30°, 45° och 60° går det relativt enkelt att räkna ut exakta värden på de trigonometriska funktionerna.

Exempel 5

Vi utgår från en kvadrat med sidlängd 1. En diagonal i kvadraten delar de räta vinklarna i motsatta hörn i två lika delar 45°.


[Image]


Med Pythagoras sats kan vi bestämma diagonalens längd \displaystyle x,

\displaystyle

x^2 = 1^2 + 1^2 \quad \Leftrightarrow \quad x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\,\mbox{.}

I triangeln som har diagonalen som hypotenusa får vi fram värdet på de trigonometriska funktionerna för vinkeln \displaystyle 45^\circ.


[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \sin 45^\circ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\[8pt] \tan 45^\circ &= \frac{1}{1}= 1\\ \end{align*}

Exempel 6

Betrakta en liksidig triangel där alla sidor har längd 1. Vinklarna i triangeln är alla 60°. Triangeln kan delas upp i två halvor av linjen som delar toppvinkeln mitt itu.


[Image]


Pythagoras sats ger att den vertikala sidan av en triangelhalva är \displaystyle x=\sqrt{3}/2. Från en triangelhalva får vi att


[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 30^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,;\\[8pt] \sin 30^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\,;\\[8pt] \tan 30^\circ &= \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,;\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos 60^\circ &= \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}\\[8pt] \sin 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[8pt] \tan 60^\circ &= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}\\ \end{align*}


Trigonometriska funktioner för allmänna vinklar

För vinklar som är mindre än 0° eller större än 90° definieras de trigonometriska funktionerna med hjälp av enhetscirkeln (cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1).

De trigonometriska funktionerna \displaystyle \cos u och \displaystyle \sin u är x- respektive y-koordinaterna för skärningspunkten mellan enhetscirkeln och det radiella linjesegmentet som bildar vinkeln \displaystyle u med den positiva x-axeln.

[Image]

Tangensfunktionen definieras som

\displaystyle \tan u = \displaystyle\frac{\sin u}{\cos u}

och tangensvärdet kan tolkas som riktningskoefficienten för det radiella linjesegmentet.


Exempel 7

Från figurerna nedan avläser vi värdena på cosinus och sinus.

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 104^\circ &\approx -0{,}24\\[8pt] \sin 104^\circ &\approx 0{,}97\\[8pt] \tan 104^\circ &\approx \dfrac{0{,}97}{-0{,}24} \approx -4{,}0\\ \end{align*}

[Image]

\displaystyle \begin{align*} \cos 201^\circ &\approx -0{,}93\\[8pt] \sin 201^\circ &\approx -0{,}36\\[8pt] \tan 201^\circ &\approx \dfrac{-0{,}36}{-0{,}93} \approx 0{,}4\\ \end{align*}

Exempel 8

Vilket tecken har

  1. \displaystyle \cos 209^\circ

    Eftersom vinkeln \displaystyle 209^\circ kan skrivas som \displaystyle 209^\circ = 180^\circ + 29^\circ så svarar vinkeln mot en punkt på enhetscirkeln som ligger i den tredje kvadranten. Den punkten har en negativ x-koordinat, vilket betyder att \displaystyle \cos 209^\circ är negativ.

[Image]

  1. \displaystyle \sin 133^\circ

    Vinkeln \displaystyle 133^\circ är lika med \displaystyle 90^\circ + 43^\circ och ger en punkt på enhetscirkeln som ligger i den andra kvadranten. I den kvadranten har punkter positiv y-koordinat och därför är \displaystyle \sin 133^\circ positiv.

[Image]

  1. \displaystyle \tan (-40^\circ)

    Ritas vinkeln \displaystyle -40^\circ in i enhetscirkeln fås en vinkellinje som har en negativ riktningskoefficient, dvs. \displaystyle \tan (-40^\circ) är negativ.

[Image]

Exempel 9

Bestäm \displaystyle \,\sin\frac{2\pi}{3}.

Omskrivningen

\displaystyle

\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6} = \frac{3\pi+ \pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

visar att vinkeln \displaystyle 2\pi/3 hamnar i enhetscirkelns andra kvadrant och bildar vinkeln \displaystyle \pi/6 med den positiva y-axeln. Om vi ritar in en hjälptriangel som i figuren nedan till höger så ser vi att \displaystyle 2\pi/3-punkten på enhetscirkeln har en y-koordinat som är lika med den närliggande kateten \displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}/2. Alltså är

\displaystyle

\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mbox{.}

[Image]


De trigonometriska funktionernas grafer

I förra avsnittet använde vi enhetscirkeln för att definiera cosinus och sinus för godtyckliga vinklar och vi kommer använda enhetscirkeln ofta framöver för att t.ex. härleda trigonometriska samband och lösa trigonometriska ekvationer. Det finns dock vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna som bättre illustreras genom att rita upp deras funktionsgrafer.


[Image]

Grafen till sinusfunktionen

[Image]

Grafen till cosinusfunktionen

[Image]

Grafen till tangensfunktionen


I graferna kan vi observera flera saker kanske tydligare än i enhetscirkeln. Några exempel är:

  • Kurvorna för cosinus och sinus upprepar sig efter en vinkeländring på \displaystyle 2\pi, dvs. det gäller att \displaystyle \cos (x+2\pi) = \cos x och \displaystyle \sin (x+2\pi) = \sin x. I enhetscirkeln motsvarar \displaystyle 2\pi ett varv och efter ett helt varv återkommer vinklar till samma läge på enhetscirkeln och har därför samma koordinater.
  • Kurvan för tangens upprepar sig redan efter en vinkeländring på \displaystyle \pi, dvs. \displaystyle \tan (x+\pi) = \tan x. Två vinklar som skiljer sig åt med \displaystyle \pi ligger på samma linje genom origo i enhetscirkeln och deras vinkellinjer har därför samma riktningskoefficient.
  • Förutom en fasförskjutning på \displaystyle \pi/2 är kurvorna för cosinus och sinus identiska, dvs. \displaystyle \cos x = \sin (x+ \pi/2); mer om detta i nästa avsnitt.


Graferna kan också vara viktiga när man undersöker trigonometriska ekvationer. Med en enkel skiss kan man ofta få en uppfattning om hur många lösningar en ekvation har, och var lösningarna finns.

Exempel 10

Hur många lösningar har ekvationen \displaystyle \cos x = x^2? (där \displaystyle x mäts i radianer)

Genom att rita upp graferna \displaystyle y=\cos x och \displaystyle y=x^2 ser vi att kurvorna skär varandra i två punkter. Det finns alltså två x-värden för vilka motsvarande y-värden är lika. Med andra ord har ekvationen två lösningar.

[Image]


Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


Tänk på att:

Har du läst trigonometri, så ska du inte vara rädd för att använda den i geometriska problem. Det ger ofta en enklare lösning.

Du kan behöva lägga ner mycket tid på att förstå hur man använder enhetscirkeln för att definiera de trigonometriska funktionerna.

Ta för vana att räkna med exakta trigonometriska värden. Det ger en bra träning på bråkräkning och så småningom i räkning med algebraiska rationella uttryck.


Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometri i Per Edströms "Interaktiv Matematik"

Läs mer om trigonometri på engelska Wikipedia

Läs mer om enhetscirkeln på engelska Wikipedia


Länktips

Experimentera med sinus och cosinus i enhetscirkeln

Experimentera med Euklidisk geometri

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte1/index.php/4.2_Trigonometriska_funktioner