4.3 Övningar

Förberedande kurs i matematik 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #000" width="5px" |   {{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samban...)
Nuvarande version (6 maj 2010 kl. 12.45) (redigera) (ogör)
(Länkar in Ja/Nej-frågor)
 
(17 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 4: Rad 4:
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samband|Teori]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Trigonometriska samband|Teori]]}}
{{Mall:Vald flik|[[4.3 Övningar|Övningar]]}}
{{Mall:Vald flik|[[4.3 Övningar|Övningar]]}}
 +
{{Mall:Ej vald flik|[[4.3 Ja eller Nej?|Ja/Nej?]]}}
| style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"|  
|}
|}
Rad 19: Rad 20:
|}
|}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:1|Lösning a |Lösning 4.3:1a|Lösning b |Lösning 4.3:1b|Lösning c |Lösning 4.3:1c}}
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:1|Lösning a |Lösning 4.3:1a|Lösning b |Lösning 4.3:1b|Lösning c |Lösning 4.3:1c}}
 +
 +
===Övning 4.3:2===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm de vinklar <math>\,v\,</math> mellan 0 och <math>\,\pi\,</math> som uppfyller
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:2|Lösning a |Lösning 4.3:2a|Lösning b |Lösning 4.3:2b}}
 +
 +
===Övning 4.3:3===
 +
<div class="ovning">
 +
Antag att <math>\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,</math> och att <math>\,\sin{v} = a\,</math>. Uttryck med hjälp av <math>\,a</math>
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(-v)}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{(\pi-v)}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\cos{v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:3|Lösning a |Lösning 4.3:3a|Lösning b |Lösning 4.3:3b|Lösning c |Lösning 4.3:3c|Lösning d |Lösning 4.3:3d|Lösning e |Lösning 4.3:3e|Lösning f |Lösning 4.3:3f}}
 +
 +
===Övning 4.3:4===
 +
<div class="ovning">
 +
Antag att <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> och att <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Uttryck med hjälp av <math>\,b</math>
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="50%" | <math>\sin^2{v}</math>
 +
|b)
 +
|width="50%" | <math>\sin{v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="50%" | <math>\sin{2v}</math>
 +
|d)
 +
|width="50%" | <math>\cos{2v}</math>
 +
|-
 +
|e)
 +
|width="50%" | <math>\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</math>
 +
|f)
 +
|width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:4|Lösning a |Lösning 4.3:4a|Lösning b |Lösning 4.3:4b|Lösning c |Lösning 4.3:4c|Lösning d |Lösning 4.3:4d|Lösning e |Lösning 4.3:4e|Lösning f |Lösning 4.3:4f}}
 +
 +
===Övning 4.3:5===
 +
<div class="ovning">
 +
För en spetsig vinkel <math>\,v\,</math> i en triangel gäller att <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math>. Bestäm <math>\,\cos{v}\,</math> och <math>\,\tan{v}\,</math>.
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:5|Lösning |Lösning 4.3:5}}
 +
 +
===Övning 4.3:6===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> och <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \cos{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> och <math>\,v\,</math> ligger i den andra kvadranten.
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \cos{v}\ </math> om <math>\ \tan{v}=3\ </math> och <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:6|Lösning a |Lösning 4.3:6a|Lösning b |Lösning 4.3:6b|Lösning c |Lösning 4.3:6c}}
 +
 +
===Övning 4.3:7===
 +
<div class="ovning">
 +
Bestäm <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> om
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math> \,y\,</math> är vinklar i första kvadranten.
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math>\,y\,</math> är vinklar i första kvadranten.
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:7|Lösning a |Lösning 4.3:7a|Lösning b |Lösning 4.3:7b}}
 +
 +
===Övning 4.3:8===
 +
<div class="ovning">
 +
Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|a)
 +
|width="100%" | <math>\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</math>
 +
|-
 +
|b)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</math>
 +
|-
 +
|c)
 +
|width="100%" | <math>\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</math>
 +
|-
 +
|d)
 +
|width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math>
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning a |Lösning 4.3:8a|Lösning b |Lösning 4.3:8b|Lösning c |Lösning 4.3:8c|Lösning d |Lösning 4.3:8d}}
 +
 +
===Övning 4.3:9===
 +
<div class="ovning">
 +
{| width="100%" cellspacing="10px"
 +
|
 +
|width="100%" | Visa "Morries formel"
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |<center> <math>\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}</math> </center>
 +
|-
 +
|
 +
|width="100%" |(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på <math>\,\sin 160^\circ\,</math>.)
 +
|}
 +
</div>{{#NAVCONTENT:Lösning |Lösning 4.3:9}}

Nuvarande version

       Teori          Övningar          Ja/Nej?      

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \displaystyle \,2\pi\, som uppfyller

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Svar
Svar 4.3:1
Lösning a
Lösning 4.3:1a
Lösning b
Lösning 4.3:1b
Lösning c
Lösning 4.3:1c

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan 0 och \displaystyle \,\pi\, som uppfyller

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Svar
Svar 4.3:2
Lösning a
Lösning 4.3:2a
Lösning b
Lösning 4.3:2b

Övning 4.3:3

Antag att \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,a

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Svar
Svar 4.3:3
Lösning a
Lösning 4.3:3a
Lösning b
Lösning 4.3:3b
Lösning c
Lösning 4.3:3c
Lösning d
Lösning 4.3:3d
Lösning e
Lösning 4.3:3e
Lösning f
Lösning 4.3:3f

Övning 4.3:4

Antag att \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, och att \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,b

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Svar
Svar 4.3:4
Lösning a
Lösning 4.3:4a
Lösning b
Lösning 4.3:4b
Lösning c
Lösning 4.3:4c
Lösning d
Lösning 4.3:4d
Lösning e
Lösning 4.3:4e
Lösning f
Lösning 4.3:4f

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel \displaystyle \,v\, i en triangel gäller att \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \displaystyle \,\cos{v}\, och \displaystyle \,\tan{v}\,.

Svar
Svar 4.3:5
Lösning
Lösning 4.3:5

Övning 4.3:6

a) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestäm \displaystyle \ \cos{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \displaystyle \,v\, ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \cos{v}\ om \displaystyle \ \tan{v}=3\ och \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Svar
Svar 4.3:6
Lösning a
Lösning 4.3:6a
Lösning b
Lösning 4.3:6b
Lösning c
Lösning 4.3:6c

Övning 4.3:7

Bestäm \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ om

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten.
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten.
Svar
Svar 4.3:7
Lösning a
Lösning 4.3:7a
Lösning b
Lösning 4.3:7b

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösning a
Lösning 4.3:8a
Lösning b
Lösning 4.3:8b
Lösning c
Lösning 4.3:8c
Lösning d
Lösning 4.3:8d

Övning 4.3:9

Visa "Morries formel"
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \displaystyle \,\sin 160^\circ\,.)
Lösning
Lösning 4.3:9
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte1/index.php/4.3_%C3%96vningar