2.1 Algebraiska uttryck
Förberedande kurs i matematik 1
(Länkar in Ja/Nej-frågor) |
|||
| (3 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
{{Mall:Vald flik|[[2.1 Algebraiska uttryck|Teori]]}} | {{Mall:Vald flik|[[2.1 Algebraiska uttryck|Teori]]}} | ||
{{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Övningar|Övningar]]}} | {{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Övningar|Övningar]]}} | ||
| + | {{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Ja eller Nej?|Ja/Nej?]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 56: | Rad 57: | ||
<li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x | <li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x | ||
= -x^2 +x</math><br/> | = -x^2 +x</math><br/> | ||
| - | :där vi i sista ledet använt att <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x</math></li> | + | :där vi i sista ledet använt att <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math></li> |
<li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x | <li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x | ||
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/> | + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/> | ||
| Rad 85: | Rad 86: | ||
{{Fristående formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}} | {{Fristående formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}} | ||
| - | och ser <math>a+b</math> som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi | + | och ser <math>a+b</math> som en faktor som multipliceras in i parentesen <math>(c+d)</math> så får vi |
{{Fristående formel||<math>\eqalign{ | {{Fristående formel||<math>\eqalign{ | ||
| - | + | \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) | |
| - | + | &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c | |
| - | + | + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr | |
| - | + | (a+b)\,(c+d) | |
| - | + | &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}} | |
Sedan kan <math>c</math> och <math>d</math> multipliceras in i respektive parentes | Sedan kan <math>c</math> och <math>d</math> multipliceras in i respektive parentes | ||
| Rad 135: | Rad 136: | ||
<li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li> | <li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li> | ||
<li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br> | <li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br> | ||
| - | :där <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2</math></li> | + | :där <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li> |
<li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 | <li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 | ||
= x^4 -8x^2 +16</math></li> | = x^4 -8x^2 +16</math></li> | ||
| Rad 177: | Rad 178: | ||
{{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b) | {{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b) | ||
| - | + | = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) | |
| - | + | = a^2 -ab+ab-b^2 | |
| - | + | = a^2 -b^2\mbox{.}</math>}} | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 203: | Rad 204: | ||
<div class="regel"> | <div class="regel"> | ||
{{Fristående formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} | {{Fristående formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} | ||
| - | + | = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} | |
| - | + | \quad \mbox{och} \quad | |
| - | + | \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} | |
| - | + | = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}} | |
</div> | </div> | ||
| Rad 226: | Rad 227: | ||
{{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x+1} | {{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x+1} | ||
| - | + | = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} | |
| - | + | = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} | |
| - | + | = \dots</math>}} | |
Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt | Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt | ||
{{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } | {{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } | ||
| - | + | = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} | |
| - | + | = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}} | |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 253: | Rad 254: | ||
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} | {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} | ||
| - | + | = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} | |
| - | + | = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} | |
| - | + | = \frac{x-1-x}{x(x-1)} | |
| - | + | = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}} | |
Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer. | Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer. | ||
| Rad 268: | Rad 269: | ||
Förläng den första termen med <math>(x+2)</math> och den andra termen med <math>(x+1)</math> | Förläng den första termen med <math>(x+2)</math> och den andra termen med <math>(x+1)</math> | ||
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} | {{Fristående formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} | |
| - | + | &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} | |
| - | + | = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} | |
| - | + | \end{align*}</math>}}</li> | |
<li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN} | <li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN} | ||
= x^2</math><br><br> | = x^2</math><br><br> | ||
Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare | Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare | ||
{{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} | {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} | ||
| - | + | = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} | |
| - | + | = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li> | |
<li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> har <math>\ | <li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> har <math>\ | ||
\text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br> | \text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br> | ||
Den första termen förlängs med <math>x(x+2)</math> medan den andra termen förlängs med <math>(x+1)^2</math> | Den första termen förlängs med <math>x(x+2)</math> medan den andra termen förlängs med <math>(x+1)^2</math> | ||
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} | {{Fristående formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} | |
| - | + | &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} | |
| - | + | - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} | |
| - | + | \end{align*}</math>}}</li> | |
<li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> har <math>\ | <li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> har <math>\ | ||
\text{MGN}=x(x-1)(x+1)</math><br><br> | \text{MGN}=x(x-1)(x+1)</math><br><br> | ||
Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren <math>x(x-1)(x+1)</math> | Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren <math>x(x-1)(x+1)</math> | ||
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} | {{Fristående formel||<math>\begin{align*} | ||
| - | + | \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 | |
| - | + | &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} | |
| - | + | - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} | |
| - | + | - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] | |
| - | + | &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} | |
| - | + | \end{align*}</math>}}</li> | |
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
| - | Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera. | + | Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex. nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera. |
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
Nuvarande version
| Teori | Övningar | Ja/Nej? |
Innehåll:
- Distributiva lagen
- Kvadreringsreglerna
- Konjugatregeln
- Rationella uttryck
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Förenkla komplicerade algebraiska uttryck.
- Faktorisera uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
- Utveckla uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln.
Distributiva lagen
Den distributiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.
![[Image]](/wikis/forberedandematte1/img_auth.php/metapost/d/6/5/d652a2214b482cffcbeb295ace6e305b.png)
Exempel 1
- \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
- \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
- \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
- \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az
Med den distributiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hantera minustecken framför parentesuttryck. Regeln säger att en parentes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parentesen byter tecken.
Exempel 2
- \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
- \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x
= -x^2 +x
- där vi i sista ledet använt att \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}
- \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x
+ (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
\displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3 - \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
\displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2
Om den distributiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.
Exempel 3
- \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
- \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
- \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
- \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1
Kvadreringsreglerna
Den distributiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar
| \displaystyle (a+b)(c+d) |
och ser \displaystyle a+b som en faktor som multipliceras in i parentesen \displaystyle (c+d) så får vi
| \displaystyle \eqalign{
\bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}} |
Sedan kan \displaystyle c och \displaystyle d multipliceras in i respektive parentes
| \displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.} |
Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:
![[Image]](/wikis/forberedandematte1/img_auth.php/metapost/c/6/3/c634f06f41bec3c5aca8e91bf037acc9.png)
Exempel 4
- \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2)
= x^2 -2x+x-2
\displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2 - \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1)
= 3(2x^2 +x-2xy-y)
\displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y - \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x)
= 2-x-2x+x^2
\displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2- där vi använt att \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.
Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när \displaystyle a+b och \displaystyle c+d är samma uttryck
Kvadreringsreglerna
| \displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 |
| \displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 |
Dessa formler kallas för första och andra kvadreringsregeln.
Exempel 5
- \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
- \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
- där \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
- \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
- \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
\displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
\displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x - \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
\displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8 - \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
\displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
\displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8
Kvadreringsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck.
Exempel 6
- \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
- \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
- \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2
Konjugatregeln
Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln
Konjugatregeln:
| \displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2 |
Denna formel kan vi få fram direkt genom att utveckla vänsterledet
| \displaystyle (a+b)(a-b)
= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.} |
Exempel 7
- \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
- \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
- \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
- \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4)
= (x^2+4)(x^2-2^2)
\displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)
Rationella uttryck
Räkning med algebraiska uttryck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning.
Multiplikation och division av bråkuttryck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal,
| \displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
= \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{och} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.} |
Exempel 8
- \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}
Förlängning av ett bråkuttryck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor
| \displaystyle \frac{x+2}{x+1}
= \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots |
Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt
| \displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }
= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.} |
Exempel 9
- \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
- \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
- \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{konjugatregeln}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}
När bråkuttryck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljarna kan kombineras ihop,
| \displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}
= \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.} |
Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer.
Exempel 10
- \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad har \displaystyle \ \text{MGN}
= (x+1)(x+2)
Förläng den första termen med \displaystyle (x+2) och den andra termen med \displaystyle (x+1)\displaystyle \begin{align*} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}
- \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad har \displaystyle \ \text{MGN}
= x^2
Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}
- \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad har \displaystyle \
\text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)
Den första termen förlängs med \displaystyle x(x+2) medan den andra termen förlängs med \displaystyle (x+1)^2\displaystyle \begin{align*} \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}
- \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad har \displaystyle \
\text{MGN}=x(x-1)(x+1)
Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren \displaystyle x(x-1)(x+1)\displaystyle \begin{align*} \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}
Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex. nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera.
Exempel 11
- \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}
= \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
= \left\{\,\mbox{MGN}
= (x+2)(x-2)\,\right\}
\displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}
\displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2} - \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}
= \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y}
= \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y}
= \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}
\displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att:
Var noggrann. Om du gör ett fel på ett ställe så kommer resten av uträkningen också vara fel.
Använd många mellanled. Om du är osäker på en uträkning utför då hellre enkla steg än ett stort steg.
Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka.
Lästips
Läs mer om algebra på engelska Wikipedia
Understanding Algebra - engelsk textbok på nätet
Länktips
