Förberedande kurs i matematik 1

Det finns ingen magisk rotlag för hur rötter av olika slag som i vänsterledet kan kombineras ihop.

Speciellt är likheten i frågetexten felaktig vilket blir tydligt om båda led skrivs i potensform,

\displaystyle \begin{align}\sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[4]{5} &= 7^{1/3}\cdot 5^{1/4},\\[3pt] \sqrt[3\cdot 4]{7\cdot 5} &= (7\cdot 5)^{\frac{1}{3\cdot 4}} = 7^{\frac{1}{3\cdot 4}}\cdot 5^{\frac{1}{3\cdot 4}},\end{align}

för då följer att

\displaystyle \sqrt[3\cdot 4]{7\cdot 5} = 7^{\frac{1}{3\cdot 4}}\cdot 5^{\frac{1}{3\cdot 4}}< 7^{1/3}\cdot 5^{1/4} = \sqrt[3]{7}\cdot\sqrt[4]{5}\textrm{.}