2.3 Partielle Integration
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
|
Innehåll:
- Partiell integration.
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Förstå härledningen av formeln för partiell integration.
- Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration i ett eller två steg.
- Lösa integrationsproblem som kräver partiell integration följt av en substitution (eller tvärt om).
Partiell integration
Vid integrering av produkter kan man ibland använda sig av en metod som kallas partiell integration. Metoden bygger på att man använder deriveringsregeln för produkter baklänges. Om \displaystyle f och \displaystyle g är två deriverbara funktioner så gäller enligt produktregeln att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Om man nu integrerar båda leden får man
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
eller efter ommöblering
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta ger oss formeln för partiell integration.
Partiell integration:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta innebär i praktiken att man integrerar en produkt av funktioner genom att kalla den ena faktorn \displaystyle f och den andra \displaystyle g, varefter man byter ut integralen \displaystyle \,\int f \cdot g\,dx\ mot den förhoppningsvis enklare integralen \displaystyle \,\int F \cdot g'\,dx\,\mbox{,}\ där \displaystyle F är en primitiv funktion till \displaystyle f och \displaystyle g' är derivatan av \displaystyle g.
Det är viktigt att påpeka att metoden inte alltid leder till en integral som är lättare än den ursprungliga. Det kan också vara helt avgörande hur man väljer funktionerna \displaystyle f och \displaystyle g, vilket följande exempel visar.
Exempel 1
Bestäm integralen \displaystyle \,\int x \cdot \sin x \, dx\,.
Om man väljer \displaystyle f=x och \displaystyle g=\sin x får man \displaystyle F=x^2/2 och \displaystyle g'=\cos x, och enligt formeln för partiell integration
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Den nya integralen i högerledet är i detta fall inte enklare än den ursprungliga integralen.
Om man i stället väljer \displaystyle f=\sin x och \displaystyle g=x får man \displaystyle F=-\cos x och \displaystyle g'=1, och
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 2
Bestäm integralen \displaystyle \ \int x^2 \cdot \ln x \, dx\,.
Sätt \displaystyle f=x^2 och \displaystyle g=\ln x eftersom då deriverar vi bort logaritmfunktionen när vi utför en partiell integrering: \displaystyle F=x^3/3 och \displaystyle g'=1/x. Detta ger oss alltså att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 3
Bestäm integralen \displaystyle \ \int x^2 e^x \, dx\,.
Sätt \displaystyle f=e^x och \displaystyle g=x^2, vilket ger att \displaystyle F=e^x och \displaystyle g'=2x, och en partiell integrering ger att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Här krävs ytterligare partiell integration för att lösa den nya integralen \displaystyle \,\int 2x\,e^x \, dx. Vi väljer i detta fall \displaystyle f=e^x och \displaystyle g=2x, vilket ger att \displaystyle F=e^x och \displaystyle g'=2
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Den ursprungliga integralen blir alltså
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 4
Bestäm integralen \displaystyle \ \int e^x \cos x \, dx\,.
I en första partiell integrering väljer vi att integrera faktorn \displaystyle e^x och derivera faktorn \displaystyle \cos x,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Resultatet blev att vi väsentligen bytte ut faktorn \displaystyle \cos x mot \displaystyle \sin x i integralen. Om vi därför partialintegrerar en gång till (integrera \displaystyle e^x och derivera \displaystyle \sin x) då får vi att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Den ursprungliga integralen dyker här alltså upp igen. Vi får sammantaget:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
och samlar vi integralerna i ena ledet fås att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Trots att de partiella integrationerna i detta fall inte ledde till någon enklare integral kom vi alltså fram till en ekvation där den ursprungliga integralen kunde ”lösas ut”. Detta är inte helt ovanligt när integranden är en produkt av trigonometriska funktioner och/eller exponentialfunktioner.
Exempel 5
Beräkna integralen \displaystyle \ \int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx\,.
Integralen kan skrivas om som
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Sätt nu \displaystyle f=e^{-x} och \displaystyle g=2x, och partialintegrera
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 6
Beräkna integralen \displaystyle \ \int \ln \sqrt{x} \ dx\,.
Vi utför först en variabelsubstitution \displaystyle u=\sqrt{x} vilket ger att \displaystyle du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u, dvs., \displaystyle dx = 2u\,du\,,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Sedan partialintegrerar vi. Sätt \displaystyle f=2u och \displaystyle g=\ln u, vilket ger att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Anm. Ett alternativt tillvägagångssätt är att skriva om den ursprungliga integranden som \displaystyle \ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x och sedan partialintegrera produkten \displaystyle \tfrac{1}{2}\cdot\ln x.
