Lösung 3.3:6
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Polarform
Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform
| \displaystyle \begin{align}
z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\, \end{align} |
und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.} |
Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad \end{align}\right. |
Das ergibt
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad \end{align}\right. |
Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument \displaystyle \pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi und alle ungerade Zahlen dem Argument \displaystyle 9\pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi.
In Polarform lauten die Lösungen also
| \displaystyle z = \left\{\begin{align}
&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt] &\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Eine Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8), liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8)), liegt im dritten Quadrant.
In der Form a + bi
Wir schreiben hier \displaystyle z=x+iy und versuchen die Konstanten \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.
Mit \displaystyle z=x+iy erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle \begin{align}
(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt] x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.} \end{align} |
Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Wir können hier \displaystyle x und \displaystyle y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten
| \displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.} |
Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
| \displaystyle x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 1 | |
| \displaystyle +\ \ | \displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \sqrt{2} |
| \displaystyle 2x^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \sqrt{2}+1 | |||
und wir erhalten
| \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.} |
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
| \displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \sqrt{2} | |
| \displaystyle -\ \ | \displaystyle \bigl(x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 1\bigr) |
| \displaystyle 2y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \sqrt{2}-1 | |||
und das ergibt
| \displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} |
Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align} \right. |
Die zweite Gleichung sagt auch, dass \displaystyle xy positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. |
Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein
| \displaystyle z = \left\{\begin{align}
\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt] -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir
| \displaystyle \sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} |
und daraus folgt
| \displaystyle \begin{align}
\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt] \sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erhalten auch
| \displaystyle \tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.} |
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern
| \displaystyle \begin{align}
\tan\frac{\pi}{8} &= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}} = \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt] &= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1\,\textrm{.} \end{align} |
