Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle.

1. Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

   \displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{} \end{align}

   Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x^2+x-2=0 null ist, da \displaystyle e^x immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

   \displaystyle \begin{align} \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt] \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt] x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\, \end{align}

   Also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1. Beide Punkte liegen im Intervall \displaystyle -3\le x\le 3\,.
2. Die Funktion besteht aus einem Polynom \displaystyle x^2-x-1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion \displaystyle e^x. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
3. Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten \displaystyle x=-3, \displaystyle x=-2, \displaystyle x=1 und \displaystyle x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,

da \displaystyle x^2+x-2 die Wurzeln \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle x+2	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle x-1	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle e^x	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)		\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle 11e^{-3}	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^{-2}	\displaystyle \searrow	\displaystyle -e	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^3

Die Funktion hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1 und lokale Maxima in den Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.