Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte

Die Endpunkte des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass \displaystyle \ln x nur definiert ist, wenn \displaystyle x > 0. Daher ist die Funktion im linken Endpunkt des Intervalls nicht definiert, denn (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

\displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, also ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.

Also ist \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minimum.