Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Nachdem das Polynom die Wurzel (Nullstelle) \displaystyle z=1 hat, ist \displaystyle z-1 ein Faktor im Polynom, und daher ist

\displaystyle z^3-3z^2+4z-2 = (z^2+Az+B)(z-1)

für welche konstanten \displaystyle A und \displaystyle B. Wir können diese Konstanten durch Polynomdivision bestimmen,

\displaystyle \begin{align} z^2+Az+B &= \frac{z^3-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^3-z^2+z^2-3z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= \frac{z^2(z-1)-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z^2+2z-2z+4z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 + \frac{-2z(z-1)+2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2z-2}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + \frac{2(z-1)}{z-1}\\[5pt] &= z^2 - 2z + 2\,\textrm{.} \end{align}

Daher ist unsere Gleichung

\displaystyle (z-1)(z^2-2z+2) = 0\,\textrm{.}

Unsere restlichen Wurzeln müssen jetzt die Faktoren von \displaystyle z^2-2z+2 sein. Dies nachdem die linke Seite nur dann null ist wenn \displaystyle z-1 oder wenn \displaystyle z^2-2z+2 null ist. Wir sehen direkt dass \displaystyle z-1 nur null ist wenn \displaystyle z=1\,.

Wir bestimmen die restlichen Wurzeln indem wir die Gleichung

\displaystyle z^2-2z+2 = 0\,\textrm{.}

durch quadratische Ergänzung lösen,

\displaystyle \begin{align} (z-1)^2-1^2+2 &= 0\,,\\[5pt] (z-1)^2 &= -1\,, \end{align}

und wir erhalten \displaystyle z-1=\pm i, also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Die anderen Wurzeln sind also \displaystyle z=1-i und \displaystyle z=1+i\,.

Wir kontrollieren schnell ob \displaystyle z = 1 \pm i Wurzeln der Gleichung sind,

\displaystyle \begin{align} z = 1+i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1+i-3)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2+i)(1+i)+4\bigr)(1+i)-2\\[5pt] &= (-2+i-2i-1+4)(1+i)-2\\[5pt] &= (1-i)(1+i)-2\\[5pt] &= 1^2 - i^2 - 2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z = 1-i:\quad z^3-3z^2+4z-2 &= \bigl((z-3)z+4\bigr)z-2\\[5pt] &= \bigl((1-i-3)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= \bigl((-2-i)(1-i)+4\bigr)(1-i)-2\\[5pt] &= (-2-i+2i-1+4)(1-i)-2\\[5pt] &= (1+i)(1-i)-2\\[5pt] &= 1^2-i^2-2\\[5pt] &= 1+1-2\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}