Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Eine Gleichung auf der Form "\displaystyle z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}" löst man indem man alle Zahlen auf Polarform bringt, und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst \displaystyle z und \displaystyle 1 auf Polarform

\displaystyle \begin{align} z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.} \end{align}

und erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit dir rechte und die linke Seite gleich sein sollen, msen deren Betrag gleich sein, und deren Argument darf sich nur mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden,

\displaystyle \left\{\begin{align} r^{4} &= 1\,,\\[5pt] 4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n is an arbitrary integer})\,\textrm{.} \end{align}\right.

Also it

\displaystyle \left\{\begin{align} r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n is an arbitrary integer).} \end{align}\right.

und die Wurzeln sind:

\displaystyle z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche winkeln, nämlich \displaystyle 0, \displaystyle \pi/2, \displaystyle \pi und \displaystyle 3\pi/2\,, nachdem jeder anderer Winkel sich nur mit einen Multipel von \displaystyle 2\pi\, von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align} &1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,, \end{align}\right. = \left\{ \begin{align} 1\,,&\\[5pt] i\,,&\\[5pt] -1\,,&\\[5pt] -i\,\textrm{.}& \end{align}\right.

Wir sehen dass die Lösungen eine Quadrate bilden, wie wir es erwarten, nachdem wir 4 verschiedene Lösungen haben.