Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z+i, und werden dadurch \displaystyle z im Nenner los,

\displaystyle iz+1=(3+i)(z+i)\,\textrm{.}

Dies bedeutet aber dass wir eine neue Gleichung haben, die nicht äquivalent mit der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn die neue Gleichung eine Lösung \displaystyle z=-i hat, kann dies unmöglich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung sein, nachdem der Nenner dann 0 wäre.

Wir erweitern die rechte Seite der neuen Gleichung,

\displaystyle iz+1 = 3z+3i+iz-1\,,

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle \begin{align} iz-3z-iz &= 3i-1-1\,,\\[5pt] -3z &= -2+3i\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also,

\displaystyle z = \frac{-2+3i}{-3} = \frac{2}{3}-i\,\textrm{.}

Nachdem es recht mühsam ist, kompleze Zahlen mit einander zu dividieren, kontrollieren wir nicht die Lösung in der ursprünglichen Gleichung, sondern in der Gleichung \displaystyle iz+1=(3+i)(z+i),

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= iz+1 = i(\tfrac{2}{3}-i)+1 = \tfrac{2}{3}\cdot i+1+1 = 2+\tfrac{2}{3}i,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= (3+i)(z+i) = (3+i)(\tfrac{2}{3}-i+i) = (3+i)\tfrac{2}{3} = 2+\tfrac{2}{3}i\,\textrm{.} \end{align}