2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die Definition desIntegrals.
  • Das verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x und \displaystyle \sin x.
  • Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Integrale als Flächen interpretieren.
  • Andere Interpretationen des Integrals zu kennen, sowie Dichtheit/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^{kx}, \displaystyle \cos kx, \displaystyle \sin kx und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmen.
  • Die Fläche under einer Funktion berechnen.

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen.

  • Wissen dass nicht alle Funktionen eine analytische Stammfunktion haben, sowie zum Beispiel \displaystyle e^{x^2} , \displaystyle (\sin x)/x, \displaystyle \sin \sin x, etc.

Die Fläche unter einer Funktion

Wir haben im voriegen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert, und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesen Abschnitt werden wir sehen dass die Fläche zwischen der x-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen können wir z.B die drei fälle unten erhalten:


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Das objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5. Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält. Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

\displaystyle s(6) = 5\times 6 = 30\,\mbox{m},\quad 
 s(6) = 4\times 3 + 6\times 3 = 30\,\mbox{m},\quad
 s(6) = \frac{6\times 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter den Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige beispiele gezeigt, was die Fläche unter einer Graph bedeuten kann.

Beispiel 1


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Eine Sonnenzelle mit der Leistung p, liefert die Energie die proportional zur Fläche unter den Graph ist. Die Kraft F die entlang einer Strecke wirkt, generiert die Arbeit die proportional zur Fläche unter den Graph ist. Ein Kondensator der mit den Strom i geladen wird, enthält eine Ladung die proportional zur Fläche unter den Graph ist.


Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,:

Das Integral von einer positiven Funktion \displaystyle f(x) von \displaystyle a bis \displaystyle b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve \displaystyle y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei vertikalen den Geraden \displaystyle x=a und \displaystyle x=b , and is written with the notation und wird wie folgt geschrieben;

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Die Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion \displaystyle f(x) nennt man Integrand, und den \displaystyle x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=f(x) von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=c ist gleich groß wie die Fläche vión \displaystyle x=a bis \displaystyle x=b plus die Fläche von \displaystyle x=b bis \displaystyle x=c. Dies bedeutet dass
\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx 
 = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

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Beispiel 3

Ein Gegenstand wessen Geschwindigkeit \displaystyle v(t) in den Graph rechts ist. Die Strecke die der Gegenstand nach der Zeit 10 s zurückgelegt ist das Integral
\displaystyle s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}

Note . Wir nehmen hier an dass die Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

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Beispiel 4

Wasser fließt zu einen Tank mit der Geschwindigkeit \displaystyle f(t) Liter/s zur Zeit \displaystyle t. Das Integral

\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt

beschreibt wie viel Wasser in den Tank während der zähnten Sekunde fließt.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Integral

  1. \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx

    Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) \displaystyle y=3 von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = 4, und also ein Rechteck mit der Basis 4 und der Höhe 3,
    \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \times 3 = 12\,\mbox{.}

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  1. \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx

    Das Integral ist die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=x/2-1 von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 5, also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5
    \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \times 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}

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  1. \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad where \displaystyle k>0\,.

    Das Integral ist die Fläche unter der Gerade \displaystyle y=kx, von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = a, und also ein Dreieck mit der Basis \displaystyle a und der Höhe \displaystyle ka
    \displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \times ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}

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Stammfunktionen und Unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist, für einen beliebigen Konstanten \displaystyle C. Man kann auch zeigen dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral benannt, und man schreibt

\displaystyle \int f(x)\, dx\,\mbox{.}

Exempel 6

  1. \displaystyle F(x) = x^3 + \cos x - 5 ist die Stammfunktion von \displaystyle f(x) = 3x^2 - \sin x, nachdem
    \displaystyle F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0 
         = f(x)\,\mbox{.}
  2. \displaystyle G(t) = e^{3t + 1} + \ln t ist die Stammfunktion von \displaystyle g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t, nachdem
    \displaystyle G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr) 
         = e^{3t+1}\times 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}
  3. \displaystyle F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,, wo \displaystyle C eine beliebige Konstante ist.


Verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen

Wir haben schon entdeckt dass die Fläche unter einer Funktion das Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an dass \displaystyle f kontinuierlich in einen Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ beruht dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird der Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

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\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Wir werden jetzt zeigen dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

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Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle t=x plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck wie

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0 bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x) und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) , und also ist

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).


Integrale Rechnen

Um die mit Hilfe der Stammfunktionen das Integrale zu berechnen, notieren wir zuerst dass wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, ist

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

wo die Konstante \displaystyle C so gewählt werden muss dass die rechte Seite null ist wenn \displaystyle b=a und die linke Seite also null auch ist. Also ist

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

und wir erhalten \displaystyle C=-F(a). Wenn wir zusammenfassen, haben wir, dass

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen, und erhalten dann

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die rechnung von Integralen geschieht in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion, und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt meistens,

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}


Beispiel 7

The area bounded by the curve \displaystyle y=2x - x^2 and the x-axis can be calculated by using the integral

\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}

Since \displaystyle x^2-x^3/3 is an antiderivative of the integrand, the integral's value is

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}

The area is\displaystyle \frac{4}{3} u.a.

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Note: The value of the integral contains no unit. In practical applications, however, the area may have a unit.


Antidifferentiation

To differentiate common functions is not an insurmountable problem: there are general methods for doing this. To perform the reverse operation - that is, find an antiderivative (or an indefinite integral) for a given function - is much more difficult, however, and in some cases impossible! There is no systematic method that works everywhere, but by exploiting the usual rules of differentiation "in the opposite direction" and also by learning a number of special techniques and tricks one can tackle a large number of the functions that turn up.

The usual rules of differentiation give

\displaystyle \begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{where }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C
    \displaystyle \phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C
  2. \displaystyle \int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \, \frac{x^{-2}}{(-2)} + C
    \displaystyle \phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C
  4. \displaystyle \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C


Compensating for the ”inner derivative”

When differentiating a composite function one makes use of the chain rule, which means that one must multiply by the inner derivative. If the inner function is linear, then the inner derivative is a constant. Thus when integrating such a composite function, one must divide by the inner derivative as a sort of compensation.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C
  2. \displaystyle \int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C
  3. \displaystyle \int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \times 2} + C

Beispiel 10

  1. \displaystyle \int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C
  2. \displaystyle \int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C
  3. \displaystyle \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C

Note that this way to compensate for the inner derivative only works if the inner derivative is a constant.


Rules for evaluating integrals

Using the way integration has been defined here, it is easy to show the following properties of integration:

  1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Moreover, areas below the x-axis are subtracted, that is, if the curve of the function lies below the x-axis in a region, the integral has a negative value in this region:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

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The total area is \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Note . The value of a definite integral can be negative, while an area always has a positive value.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx
    \displaystyle \qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\times 4-2^3+2^2+3\times 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\times 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\times 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}

    [Image]

    The diagram on the left shows the area under the graph for f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 and the middle diagram shows the area under the graph for g(x) = 2. In the diagram on the right these areas are summed and give the area under the graph for f(x) + g(x).


  1. \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx
    \displaystyle \qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\times 3 - \tfrac{3}{2}\times 1 = 3

    [Image]

    The graph to f(x) = x²/2 - 2x (diagram on the left) and the graph to g(x) = 2x - x²/2 + 3/2 (diagram in the middle) are inverted with respect to each other about the line y = 3/4 (dotted line in the diagrams). This means the sum f(x) + g(x) is equal to 3/2. and is a constant. Thus the sum of the integrals is equal to the area of a rectangle with base  2 and height 3/2 (diagram on the right).


  1. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2


  1. \displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

    [Image]

    The figure shows the graph of f(x) = x² - 1 and the calculation above shows that the shaded area below the x-axis is equal to the shaded area above the x-axis.


Area between curves

If \displaystyle f(x) \ge g(x) in an interval \displaystyle a\le x\le b then the area between the curves is given by

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx 
 - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

which can be simplified to

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

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If f(x) and g(x) take positive values and f(x) is greater than g(x), the area between the graphs of f and g (the figure on the left) can be obtained as the difference between the area under the graph f (figure in the middle) and the area under the graph g (the figure on the right).


Note that it does not matter whether \displaystyle f(x) < 0 or \displaystyle g(x) < 0 as long as \displaystyle f(x) \ge g(x). The value of the area between the curves is independent of whether the curves are above or below the x-axis, as the following figures illustrate:

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The area between the two graphs is not affected if the graphs are moved in the y-direction. The area between the graphs of f(x) and g(x) (figure on the left) is equal to the area between the graphs of f(x) - 3 and g(x) - 3 (the figure in the middle), as well as the area between the graphs of f(x) - 6 and g(x) - 6 (figure on the right).

Beispiel 12

Calculate the area bounded by the curves \displaystyle y=e^x + 1 and \displaystyle y=1 - x^2/2 and the lines \displaystyle x = –1 and \displaystyle x = 1.

Since \displaystyle e^x + 1 > 1 - x^2/2 in the whole interval the area in question is given by

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{u.a.}\end{align*}

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Beispiel 13

Calculate the area of the finite region bounded by the curves \displaystyle y= x^2 and \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

The curves intersect at the points where their y-values are equal

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{or}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}
Between \displaystyle x=0 and \displaystyle x=1, \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 is true, thus the area is
\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\

&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt] &{}= \tfrac{5}{12}\ \text{u.a.}\end{align*}

[Image]

Beispiel 14

Calculate the area of the region bounded by the curve \displaystyle y=\frac{1}{x^2}and the lines \displaystyle y=x and \displaystyle y = 2.

In the figure on the right, the curve and the two lines have been sketched and then we see that the region can be divided into two sub-regions, each of which is located between two curves. The total area is the sum of the integrals

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx 
 \quad\text{and}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

We first determine the points of intersection \displaystyle x=a, \displaystyle x=b and \displaystyle x=c:

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  • The point of intersection \displaystyle x=a is obtained from the equation
\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}
(The negative root, however, is not relevant.)
  • The point of intersection \displaystyle x=b is obtained from the equation
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}
  • The point of intersection \displaystyle x=c is obtained from the equation \displaystyle x = 2.

The integrals are therefore

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}

\end{align*}

The total area is

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ \text{u.a.}
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