Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle

1. Wir erhalten die stationären Punkte indem wir die Ableitung der Funktion als null setzen.

   \displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{.} \end{align}

   Die Ableitung ist null wenn \displaystyle x^2+x-2=0 null ist, nachdem \displaystyle e^x immer größer aös null ist für alle \displaystyle x.Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

   \displaystyle \begin{align} \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt] \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt] x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,, \end{align}

   Also \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1. Beide dieser Punkte liegen im Intervall \displaystyle -3\le x\le 3\,.
2. Die Funktion besteht aus einen Polynom \displaystyle x^2-x-1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion \displaystyle e^x. Nachdem beide diese Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
3. Wir müssen auch die Endpunkte als mögliche lokae Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten \displaystyle x=-3, \displaystyle x=-2, \displaystyle x=1 und \displaystyle x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,

nachdem \displaystyle x^2+x-2 die Wurzeln \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle x+2	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle x-1	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle e^x	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Das Vorzeichen der Ableitung ist der Produkt der Faktoren oben.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)		\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle 11e^{-3}	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^{-2}	\displaystyle \searrow	\displaystyle -e	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^3

Die Funktion hat also ein lokales Minima in den Punkten \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1, und ein lokales Maxima in den Punkten \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.