Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist

   \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x

   and becomes zero when \displaystyle x=3/2\,.




2. Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.
3. Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist \displaystyle x=3/2\, der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

\displaystyle x		\displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{17}{4}	\displaystyle \searrow

Nachdem die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maxima \displaystyle (3/2, 17/4).