Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Die Funktion besteht aus der äußeren Exponentialfunktion,

\displaystyle e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}}\,,

und der inneren Funktion \displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} = x^2+x.

Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel, indem wir die Ableitung von \displaystyle e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,}} in Bezug auf \displaystyle \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} mit der inneren Ableitung \displaystyle \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\phantom{x+x}\,} \bigr)' multiplizieren, also

\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}} = e^{\,\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,x^2+x\,} \bigr)'\,\textrm{.}

Die innere Funktion ist ein Polynom, und wir erhalten direkt die innere Ableitung,

\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{x^2+x} = e^{x^2+x}\cdot (2x+1)\,\textrm{.}