3.3 Potenzen und Wurzeln
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
|
Innehåll:
- De Moivres formel
- Binomiska ekvationer
- Exponentialform
- Eulers formel
- Kvadratkomplettering
- Andragradsekvationer
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
- Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
- Lösa binomiska ekvationer.
- Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
- Lösa komplexa andragradsekvationer.
De Moivres formel
Räknereglerna \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ och \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ betyder att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
För ett godtyckligt tal \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) har vi därför följande samband
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Om \displaystyle |\,z\,|=1, (dvs. \displaystyle z ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
Exempel 1
Om \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2}, beräkna \displaystyle z^3 och \displaystyle z^{100}.
Skriver vi \displaystyle z i polär form \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ så ger de Moivres formel oss att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 2
På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
och med de Moivres formel få att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 3
Beräkna \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.
Vi skriver talen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} och \displaystyle 1+i i polär form
- \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
- \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
- \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.
Då får vi med de Moivres formel att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Binomiska ekvationer
Ett komplext tal \displaystyle z kallas en n:te rot av det komplexa talet \displaystyle w om
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där \displaystyle z är obekant, och en sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.
För ett givet tal \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) ansätter man det sökta talet \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) och den binomiska ekvationen blir
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Observera att vi lägger till multipler av \displaystyle 2\pi för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som \displaystyle \theta. Man får då att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta ger ett värde på \displaystyle r, men oändligt många värden på \displaystyle \alpha. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från \displaystyle k = 0 till \displaystyle k = n - 1 får man olika argument för \displaystyle z och därmed olika lägen för \displaystyle z i det komplexa talplanet. För övriga värden på \displaystyle k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen \displaystyle z^n=w har exakt \displaystyle n rötter.
Anm. Observera att rötternas olika argument ligger \displaystyle 2\pi/n ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.
Exempel 4
Lös den binomiska ekvationen \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.
Skriv \displaystyle z och \displaystyle 16\,i i polär form
- \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
- \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.
Då ger ekvationen \displaystyle \ z^4=16\,i\ att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
|
Lösningarna till ekvationen är alltså
| 3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄ |
Exponentialform av komplexa tal
Om vi behandlar \displaystyle i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal \displaystyle z som en funktion av \displaystyle \alpha (och \displaystyle r är en konstant),
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
så får vi efter derivering
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Den enda reella funktion med dessa egenskaper är \displaystyle f(x)= e^{\,kx}, vilket motiverar definitionen
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter \displaystyle z=a+ib så får man
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Definitionen av \displaystyle e^{\,z} kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.
Exempel 5
För ett reellt tal \displaystyle z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom \displaystyle z=a+0\cdot i ger att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 6
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 7
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: \displaystyle e, \displaystyle \pi, \displaystyle i och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
Exempel 8
Lös ekvationen \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.
Sätt \displaystyle w = z + i. Vi får då den binomiska ekvationen \displaystyle \ w^3=-8i\,. Till att börja med skriver vi om \displaystyle w och \displaystyle -8i i polär form
- \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}
Ekvationen blir i polär form \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Rötterna till ekvationen blir därmed
- \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
- \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
- \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
dvs. \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i och \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.
Exempel 9
Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.
Om \displaystyle z=a+ib har \displaystyle |\,z\,|=r och \displaystyle \arg z = \alpha så gäller att \displaystyle \overline{z}= a-ib har \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r och \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Därför gäller att \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} och \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Ekvationen kan därmed skrivas
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
vilket direkt ger att \displaystyle r=0 är en lösning, dvs. \displaystyle z=0. Om vi antar att \displaystyle r\not=0 så kan ekvationen skrivas \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,, som ger efter identifikation av belopp och argument
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Lösningarna är
- \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
- \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
- \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}
Kvadratkomplettering
Kvadreringsreglerna,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Rotutdragning ger sedan att \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} och därmed att \displaystyle x=-2\pm 3, dvs. \displaystyle x=1 eller \displaystyle x=-5.
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Genom att addera 9 till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Metoden kallas kvadratkomplettering.
Exempel 10
- Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.
Koefficienten framför \displaystyle x är \displaystyle -6 och det visar att vi måste ha talet \displaystyle (-3)^2=9 som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till \displaystyle 2 på båda sidor åstadkommer vi detta:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
- Lös ekvationen \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.
Ekvationen kan skrivas \displaystyle z^2+8z+17=0. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för x" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
Exempel 11
Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.
Halva koefficienten för \displaystyle x är \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Vi lägger alltså till \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} i båda led
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Nu är det enkelt att få fram att \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} och därmed att \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, dvs. \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} och \displaystyle x=3.
Exempel 12
Lös ekvationen \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.
Kvadratkomplettering ger
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta ger den vanliga formeln, pq-formeln, för lösningar till andragradsekvationer
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 13
Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.
Halva koefficienten för \displaystyle z är \displaystyle -(6+2i) så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Räknar vi ut kvadraten \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Efter en rotutdragning har vi att \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ och därmed är lösningarna \displaystyle z=12+2i och \displaystyle z=2i.
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 14
Kvadratkomplettera uttrycket \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\,.
Lägg till och dra ifrån termen \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Lösning med formel
Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen \displaystyle \sqrt{a+ib}. Man kan då ansätta
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Genom att kvadrera båda led får vi att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. \displaystyle y= b/(2x) som kan sättas in i den första ekvationen.
Exempel 15
Beräkna \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.
Sätt \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ där \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal. Kvadrering av båda led ger
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
vilket leder till ekvationssystemet
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ och sätts detta in i den första ekvationen fås att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Denna ekvation är en andragradsekvation i \displaystyle x^2 vilket man ser lättare genom att sätta \displaystyle t=x^2,
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Lösningarna är \displaystyle t = 1 och \displaystyle t = -4. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal och då kan inte \displaystyle x^2=-4. Vi får att \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, vilket ger oss två möjligheter
- \displaystyle \ x=-1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
- \displaystyle \ x=1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.
Vi har alltså kommit fram till att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
Exempel 16
- Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.
Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
- Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}
Även här ger pq-formeln lösningarna direkt
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
- Lös ekvationen \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}
Division av båda led med \displaystyle i ger att
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
- REDIRECT Template:Abgesetzte Formel
