Lösung 3.3:2b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Wir bringen zuerst alle Zahlen auf Polarform:
| \displaystyle \begin{align}
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -1 &= 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,, \end{align} |
und mit den Moivreschen Satz erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle r^3(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) = 1\,(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.} |
Die beiden Seiten sind gleich wenn die Beträge gleich sind und die Argumente sich nur um ein Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden,
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r^3 &= 1\,,\\[5pt] 3\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl),} \end{align}\right. |
Dadurch erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align}
r &= 1\,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{3}+\frac{2n\pi}{3}\quad\text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right. |
Für jede dritte ganze Zahl \displaystyle n, erhalten wir dieselbe Lösung, also hat die Gleichung nur 3 Lösungen (eine für \displaystyle n=0, für \displaystyle n=1 und für \displaystyle n=2),
| \displaystyle z=\left\{\begin{align}
&1\cdot \Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\pi + i\sin\pi\Bigr)\\[5pt] &1\cdot \Bigl(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} &\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\,,\\[5pt] &-1\vphantom{\bigl(}\,,\\[5pt] &\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right. |
Wir sehen, dass die Wurzeln ein symmetrisches Polygon bilden. In diesem Fall erhalten wir ein Dreieck, nachdem wir 3 Lösungen haben.
