Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wenn wir die Substition \displaystyle u=5x ausführen, erhalten wir ein schon bekanntes Integral,

\displaystyle \int\limits_0^{\pi} \cos 5x\,dx = \left\{\begin{align} u &= 5x\\[5pt] du &= (5x)'\,dx = 5\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du\,\textrm{.}

Hier haben wir \displaystyle dx mit \displaystyle \tfrac{1}{5}\,du ersetzt. Die Grenzen die wir erhalten sind \displaystyle u=5\cdot 0=0 und \displaystyle u=5\cdot \pi = 5\pi\,.

Wir erhalten das Integral,

\displaystyle \frac{1}{5}\int\limits_0^{5\pi} \cos u\,du = \frac{1}{5}\Bigl[\ \sin u\ \Bigr]_0^{5\pi} = \frac{1}{5}( \sin 5\pi -\sin 0) = \frac{1}{5}(0-0) = 0\,\textrm{.}

Hinweis: Zeichnen wir die Graphe von \displaystyle y=\cos 5x, sehen wir das die gesamte Fläche oberhalb der x-Achse genauso groß ist wir die gesamte Fläche unterhalb der x-Achse ist.