Lösung 1.3:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
Nachdem die Funktion für alle x definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5 |
und wir erhalten die Gleichung
\displaystyle 3e^{-3x} = 5 |
für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.} |
also hat die Gleichung einen stationären Punkt in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
Die zweite Ableitung ist
\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x} |
und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,, |
also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.