Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist

   \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x

   und wird null für \displaystyle x=3/2\,.




2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrema auch stationäre Punkte, somit ist \displaystyle x=3/2\, der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

\displaystyle x		\displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{17}{4}	\displaystyle \searrow

Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maximum \displaystyle (3/2, 17/4).