Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)

   \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2

   ist null wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und so ist \displaystyle x=1\, der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen, ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.

\displaystyle x		\displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle \searrow	\displaystyle 0	\displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.