2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Die Herleitung der Formel für die Integration durch Substitution verstehen.
  • Integrale mit Integration durch Substitution lösen.
  • Die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändern.
  • Wissen, wann Integration durch Substitution möglich ist.

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann auf Integralform geschrieben werden:

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

oder,

\displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

Wo F eine Stammfunktion von f ist. Wir vergleichen diese Formel mit der normalen Intagrationsformel

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}

und sehen, dass wir die Variable \displaystyle u(x) mit der Variable \displaystyle u ersetzt haben, und den Term \displaystyle u'(x)\, dx mit \displaystyle du. Daher kann man den komplizierteren Integranden \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ersetzen (mit \displaystyle x als Variable) mit dem einfacheren Ausdruck \displaystyle f(u) (mit \displaystyle u als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ist.

Hinweis Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass \displaystyle u(x) im Intervall differenzierbar ist, für alle \displaystyle u im Intervall.


Beispiel 1

Berechne das Integral \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u(x)= x^2 machen, erhalten wir \displaystyle u'(x)= 2x. Durch die Substitution wird \displaystyle e^{x^2}, \displaystyle e^u und \displaystyle u'(x)\,dx, also \displaystyle 2x\,dx wird \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \times 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx.

Wir substituieren, \displaystyle u=x^3 + 1.Dies ergibt \displaystyle u'=3x^2, oder \displaystyle du= 3x^2\, dx, und daher ist

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \times 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ wo \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Wir schreiben \displaystyle \tan x wir \displaystyle \sin x/\cos x machen die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}


B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder berechnet man das Integral und ersetzt danach die neue Variable mit der alten, oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Methode 1

Wir substituieren \displaystyle u=e^x , und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\,dx

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}

Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie \displaystyle x = 0 und \displaystyle x = 2 schreiben, nachdem \displaystyle x nicht die Integrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}


Methode 2

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx. Die Integrationsgrenze \displaystyle x=0 entspricht \displaystyle u=e^0 = 1 und \displaystyle x=2 entspricht \displaystyle u=e^2

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen:

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Diese Rechnung ist aber falsch, nachdem \displaystyle f(u)=1/u^2 nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (nicht wenn \displaystyle x=0).

Es ist notwendig, dass die Funktion \displaystyle f(u(x)) überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution \displaystyle u=u(x) nicht gültig sein.

[Image]

Graph von f(u) = 1/u²
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