Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir benennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die yKoordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, nachdem \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechteckes ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)

Wir wollen diese Fläche in Bezug auf x maximieren.

Wir sehen von der Figur her dass \displaystyle P in der ersten Quadrante liegen muss, \displaystyle x\ge 0, und also \displaystyle y=1-x^2\ge 0, und wir erhalten dass \displaystyle x\le 1. Also suchen wir das Maxima von\displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.

Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, so der wir müssen den 2:en Fall nicht beachten. Die Endpunkte \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima, siehe Figur).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Punkte. Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat im stationären Punkt den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

und also ist \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maxima.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P:

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}