Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Theorie

Übungen

Steigende und fallende Funktionen

Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.

Die formelle Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng steigend und streng fallend:

Eine Funktion f ist streng steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)

Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}

Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.

Stationäre Punkte

Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:

• Lokaler Hochpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts vom Punkt ist.
• Lokaler Tiefpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts vom Punkt ist.
• Sattelpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 oder \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 auf beiden Seiten des Punktes ist.

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.

Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensinn, haben keine Sattelpunkte.

Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle x = 2.

Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.

Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten.

Maxima und Minima (Extremwerte)

Ein Punkt wo die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokaler Hochpunkt oder lokaler Tiefpunkt. Lokale Hochpunkte ond lokala Tiefpunkte benennt man auch lokale Extrempunkte.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:

• Ein stationärer Punkt (wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
• Ein Punkt wo die Ableitung nicht definiert ist (singulärer Punkt).
• Ein Endpunkt des Intervalles, wo die Funktion definiert ist.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Ein Algorithmus um die Extrempunkte zu finden ist:

1. Die Funktion abzuleiten.
2. Untersuchen ob es Punkte gibt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
3. Alle Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 bestimmen.
4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Globale Maxima und Minima

Ein globales Maxima (globaler Hochpunkt) ist ein Punkt der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein ein globales Minima (globaler Tiefpunkt) ein Punkt der ein niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die Globale Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokale Maxima und Minima bestimmen, und den höchsten und niedrigsten Wert von diesen bestimmen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maxima oder Minima, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Wenn eine Funktion auf einen bestimmten Intervall begrenzt ist, muss man beachten dass einer der Endpunkte ein globales Maxima oder Minima sein kann.

Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen dass das Minima der Funktion im Punkt \displaystyle x=b ist, und dass das Maxima im Punkt \displaystyle x=e ist.

Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt und genügend Information darüber, ob eine Funktion steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen ob die Ableitung der Funktion steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrempunkten bestimmen.

Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

1. Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
2. Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.
3. Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maxima im Punkt \displaystyle x=a.

Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maxima im Punkt x = a.

Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat wo \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

1. Die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a.
2. Nachdem \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.
3. Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minima im Punkt \displaystyle x=a.

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minima im Punkt x = a.

Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts weiteres über den stationären Punkt sagen. In diese Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Besonders bedeutet \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 nicht dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte, gilt nicht dass umgekehrte.