1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die Definition der Ableitung
  • Die Ableitungen von \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x.
  • Die Ableitungen von Summen und Differenzen.
  • Tangenten und Normale.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Dass die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(a) einer Funktion die Steigung von \displaystyle y=f(x) im Punkt \displaystyle x=a ist.
  • Dass die Ableitung eine momentane Veränderung einer Funktion beschreibt.
  • Dass die Ableitung nicht immer definiert ist sowie bei der Funktion \displaystyle f(x)=\vert x\vert im Punkt \displaystyle x=0).
  • \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x und \displaystyle \tan x sowie Summen und Differenzen von solchen Funktionen ableiten.

Die Tangente oder die Normale einer Funktion bestimmen.

  • Wissen, dass die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) oder \displaystyle df/dx(x) geschrieben wird.

Einführung

Bei der Analyse von Funktionen und deren Graphen will man meist wissen, wie sich eine Funktion verändert, z.B. ob sie steigend oder abnehmend ist und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekantensteigung ein. Die Sekantensteigung ist ein Maß wie steil eine Funktion ist. Kennt man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantensteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen;

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}

Beispiel 1

Die linearen Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantensteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.



[Image]

[Image]

Graph of f(x) = x hat die Steigung  1. Graph of g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantensteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto zurückgelegt hat als \displaystyle s(t)=80 t schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt, dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0.

  1. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 1 bis \displaystyle x = 2 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} 
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall zu.
  2. Die Sekantensteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} 
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    und die Funktion nimmt in diesem Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantensteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1} 
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

[Image]

Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.



Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen P und Q:

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Sekantensteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} 
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q näher und näher dem Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f(x) im Punkt P.

Die Ableitung von \displaystyle f(x) schreibt man \displaystyle f^{\,\prime}(x) und wird definiert als:

Die Ableitung von \displaystyle f(x), ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) 
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Falls \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man, dass die Funktion \displaystyle f(x) differenzierbar im Punkt \displaystyle x=x_0 ist.

Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) zunehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet, dass \displaystyle f(x) abnehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet, dass \displaystyle f(x) waagrecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet dass der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist wenn \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ 3 ist, wenn \displaystyle x=2, und daher ist die Steigung der Funktion \displaystyle 3 wenn \displaystyle x=2.

Beispiel 4

Aus der Form sehen wir, dass

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

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Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t Minuten ist gegeben. Erklären Sie folgendes mitttels mathematischer Begriffe:

    \displaystyle T(10)=80

  1. Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.

    \displaystyle T'(2)=-3
  2. Nach 2 Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab

    (Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist im Punkt \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).

Man kann auch sagen, dass \displaystyle f^{\,\prime}(0) nicht existiert oder nicht definiert ist.

[Image]

Graphe der Funktion f(x) = |x|


Ableitungen von Funktionen

Mittels der Definition der Ableitung einer Funktion kann man die Ableitungen von im Prinzip allen Funktionen berechnen.


Beispiel 7

Wenn \displaystyle f(x)=x^2 ist, ist laut der Definition der Ableitung

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} 
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

Lassen wir \displaystyle h sich null nähern, erhalten wir \displaystyle 2x. Also ist die Steigung der Funktion \displaystyle y=x^2, \displaystyle 2x im Punkt x. Also ist die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle 2x.

Auf ähnliche Weise kann man mehr allgemeine Formeln für die Ableitung von Funktionen zeigen:

Funktion Ableitung
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x

Außerdem besitzt die Ableitung einige wichtige Eigenschaften;

\displaystyle D(f(x) +g(x)) 
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Und, wenn k eine Konstante ist, ist

\displaystyle D(k \, f(x)) 
 = k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad ergibt \displaystyle \quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad ergibt \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad ergibt \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad ergibt \displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad ergibt \displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

Die Funktion \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} hat die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} 
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

Also ist zum Beispiel \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} und \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0.Die Ableitung \displaystyle f'(0) ist aber nicht definiert.

Beispiel 11

Ein Gegenstand bewegt sich so wie \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, wo \displaystyle s(t) km die Strecke des Gegenstandes nach \displaystyle t Stunden ist. Berechnen Sie \displaystyle s'(3) und erklären Sie die Bedeutung dieses Ausdruckes.

Wir berechnen die Ableitung der Funktion s(t)

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad 
 \text{ergibt}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

Also hat der Gegenstand die Geschwindigkeit 8 km/h nach 3 Stunden.

Beispiel 12

Die Gesamtkosten \displaystyle T in Euro für die Herstellung von \displaystyle x Gegenständen ist

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad 
 \text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Berechnen und erklären Sie folgende Ausdrücke

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2 = 83104\,.
    Die Gesamtkosten für die Herstellung von 120 Gegenständen ist 83104 Euro.
  2. \displaystyle T'(120)

    Die Ableitung ist \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x und daher ist
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120 
           \approx 348\textrm{.}
    Die Marginalkosten (die Kosten für die Produktion einer extra Einheit) von 120 produzierten Gegenständen betragen ungefähr 348 Euro.


Tangenten und Normale

Eine Tangente ist eine Gerade, die tangential zur Kurve ist.

Eine Normael ist eine Gerade, die winkelrecht zu der Kurve und daher auch winkelrecht zur Tangente ist.

Für winkelrechte Geraden ist das Produkt deren Steigungen immer \displaystyle –1. Wenn also die Steigung der Tangente \displaystyle k_T ist, und die Steigung der Normalen \displaystyle k_N ist, ist \displaystyle k_T \, k_N = -1. Nachdem wir die Tangente durch der Ableitung bestimmen können, können wir auch die Normale durch Ableitung bestimmen.


Beispiel 13

Bestimmen Sie die Tangente der Funktion \displaystyle y=x^2 + 1 im Punkt \displaystyle (1,2).

Wir schreiben die Gleichung der Tangente \displaystyle y = kx + m. Nachdem die Gerade die Kurve bei \displaystyle x=1 tangiert, ist \displaystyle k= y'(1), also

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2.

Nachdem die Tangente durch den Punkt \displaystyle (1,2) geht, haben wir

\displaystyle 2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad 
 m = 0.

Die Tangente ist also \displaystyle y=2x.

Die Steigung der Normalen ist \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

Zusätzlich geht die Normale durch den Punkt \displaystyle (1, 2), und daher ist

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\times 1 + m 
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

Die Normale ist also \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangente \displaystyle y=2x Normal \displaystyle y=(5-x)/2


Beispiel 14

Die Kurve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x hat eine Tangente mit der Steigung \displaystyle –1. Bestimmen Sie die Stelle wo die Kurve die Tangente tangiert.

Die Ableitung ist \displaystyle y' = 2 \, e^x -3, und der Punkt muss die Ableitung \displaystyle -1 haben, also \displaystyle y' = -1, und wir erhalten dadurch

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

mit der Lösung \displaystyle x=0. Im Punkt \displaystyle x=0 Hat die Kurve den \displaystyle y-Wert \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2, und daher ist der tangentiale Punkt \displaystyle (0,2).

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