1.1 Einführung zur Differentialrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Definition of the derivative (overview).
  • Derivative of \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x.
  • Derivative of sums and differences.
  • Tangents and normals to curves.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • That the first derivative \displaystyle f^{\,\prime}(a) is the gradient of the curve \displaystyle y=f(x) at the point \displaystyle x=a.
  • That the first derivative is the instantaneous rate of change of a quantity (such as speed, price increase, and so on.).
  • That there are functions that are not differentiable (such as \displaystyle f(x)=\vert x\vert at \displaystyle x=0).
  • To differentiate \displaystyle x^\alpha, \displaystyle \ln x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x and \displaystyle \tan x as well as the sums / differences of such terms.
  • To determine the tangent and normal to the curve \displaystyle y=f(x).
  • That the derivative can be denoted by \displaystyle f^{\,\prime}(x) or \displaystyle df/dx(x).

Einfüfrung

In der Analyse von Funktionen und deren Graphen, will man oft wissen wie sich eine Funktion verändern, also ob sie steigend oder abnehmend ist, und wie steil sie ist.

Daher führt man den Begriff Sekansteigung ein. Die Sekantsteigung ist ein Maß in wie steil eine Funktion ist. Weiß man zwei Punkte am Graph, kann man die Sekantsteigung \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} berechnen;

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{Unterschied in @(i)y@(/i)}}{\text{Unterschied in@(i)x@(/i)}}

Beispiel 1

Die lineare Funktionen \displaystyle f(x)=x und \displaystyle g(x)=-2x haben überall dieselbe Sekantsteigung, nämlich \displaystyle 1 und \displaystyle −2.



[Image]

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Graph of f(x) = x hat die Steigung  1. Graph of g(x) = - 2x hat die Steigung  - 2.


Für eine lineare Funktion ist die Sekantsteigung dasselbe wie die Steigung.

Falls ein Auto mit der Geschwindigkeit 80 km/h unterwegs ist, kommt es nach t stunden s km. Also kann man die Strecke s(t), die das Auto gefahren ist wie \displaystyle s(t)=80 t schreiben. Die Steigung dieser Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Fall das Auto nicht immer dieselbe Geschwindigkeit hat, ist natürlich auch die Steigung überall anders. Man kann natürlich immer noch die Sekantsteigung berechnen, und dies wird einer Durchschnittgeschwindigkeit entsprechen. In diesen Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren die momentane Steigung (also Momentangeschwindigkeit) zu berechnen.

Beispiel 2

Für die Funktion \displaystyle f(x)=4x-x^2 gilt dass \displaystyle f(1)=3, \displaystyle f(2)=4 und \displaystyle f(4)=0.

  1. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 1 bis \displaystyle x = 2 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}
     = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}
    
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall zu.
  2. Die Sekantsteigung von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 4 ist
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}
     = \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}
    
    und die Funktion nimmt in diesen Intervall ab.
  3. Zwischen \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 4 ist die Sekantsteigung
    \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(4)-f(1)}{4-1}
     = \frac{0-3}{3} = -1\,\mbox{.}
    
    Im ganzen Intervall nimmt die Funktion ab, obwohl Sie im Intervall abnimmt und zunimmt.

[Image]

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Zwischen x = 1 und x = 2 hat die Funktion die Sekantsteigung 1/1 = 1. Zwischen x = 1 und x = 4 hat die Funktion die Sekantsteigung (-3)/3 = -1.



Definition der Ableitung

Um die momentane Steigung in einen Punkt P zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt Q ein, und berechnen die Sekantsteigung zwischen P und Q:

[Image]

Sekantsteigung

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}
 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}

Wenn wir den Punkt Q näher und näher den Punkt P wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt P. Dies nennt man die Ableitung von \displaystyle f(x) im Punkt P.

Die Ableitung von \displaystyle f(x) schreibt man wie \displaystyle f^{\,\prime}(x) und wird definiert wie:

Die Ableitung von \displaystyle f(x), ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x)
 = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}

Falls \displaystyle f^{\,\prime}(x_0) existiert, sagt man dass die Funktion \displaystyle f(x) differenzierbar im Punkt \displaystyle x=x_0 ist.

Es gibt viele Notationen für die Ableitung, hier sind einige.

Funktion Ableitung
\displaystyle f(x) \displaystyle f^{\,\prime}(x)
\displaystyle y \displaystyle y^{\,\prime}
\displaystyle y \displaystyle Dy
\displaystyle y \displaystyle \dfrac{dy}{dx}
\displaystyle s(t) \displaystyle \dot s(t)


Das Vorzeichen der Ableitung

Das Vorzeichen (+/-) sagt uns ob die Funktion ab- oder zunehmend ist:

  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 (positive Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) zunehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 (negative Ableitung) bedeutet dass \displaystyle f(x) abnehmend ist.
  • \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 (Ableitung ist null) bedeutet dass \displaystyle f(x) waagrecht ist.


Beispiel 3

  1. \displaystyle f(2)=3\ bedeutet dass der Wert der Funktion \displaystyle 3 ist wenn \displaystyle x=2.
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(2)=3\ 3 ist wenn \displaystyle x=2, und also ist die Steigung der Funktion \displaystyle 3 wenn \displaystyle x=2.

Beispiel 4

Von der Figur können wir folgendes erhalten

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt] f(b) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt] f(d) &= 0\\[4pt] f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt] f(e) &< 0\\[4pt] f^{\,\prime}(g) &> 0 \end{align*}

[Image]

Beachten Sie den Unterschied zwischen \displaystyle f(x) und \displaystyle f^{\,\prime}(x).

Beispiel 5

Die Temperatur \displaystyle T(t) in einer Thermoskanne nach \displaystyle t minuten ist gegeben. Deuten Sie folgende mathematische Begriffe:

    \displaystyle T(10)=80

  1. Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.

    \displaystyle T'(2)=-3
  2. Nach 2 Minuten nimmt die Temperatur mit 3° pro Minute ab

    (Die Ableitung ist negativ, und deshalb nimmt die Temperatur ab)

Beispiel 6

Die Funktion \displaystyle f(x)=|x| ist im Punkt \displaystyle x=0 nicht differenzierbar. Man kann also nicht die Steigung der Funktion im Punkt \displaystyle (0,0) bestimmen (Siehe Figur).


One can express this, for example, in one of the following ways:"\displaystyle f^{\,\prime}(0) does not exist", "\displaystyle f^{\,\prime}(0) is not defined " or "\displaystyle f(x) is not differentiable at \displaystyle x=0".

[Image]

graph of the function f(x) = |x|


Differentiation rules

Using the definition of differentiation one can determine the derivatives for the standard types of functions.


Beispiel 7

If \displaystyle f(x)=x^2 then, according to the definition of the increment ratio

\displaystyle \frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h}
 = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}

If we then let \displaystyle h go to zero, we see that the gradient at the point becomes \displaystyle 2x. We have thus shown that the gradient of an arbitrary point on the curve \displaystyle y=x^2 is \displaystyle 2x. That is, the derivative of \displaystyle x^2 is \displaystyle 2x.

In a similar way, we can deduce general differentiation rules:

Function Derivative
\displaystyle x^n \displaystyle nx^{n-1}
\displaystyle \ln x \displaystyle 1/x
\displaystyle e^x \displaystyle e^x
\displaystyle \sin x \displaystyle \cos x
\displaystyle \cos x \displaystyle -\sin x
\displaystyle \tan x \displaystyle 1/\cos^2 x


In addition, for sums and differences of expressions of functions one has

\displaystyle D(f(x) +g(x))
 = f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}

Additionally, if k is a constant, then

\displaystyle D(k \, f(x))
 = k \, f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}


Beispiel 8

  1. \displaystyle D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x
    \displaystyle \phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\times 3x^2 - 4\times 1 + 0 - \cos x
  2. \displaystyle y= 3 \ln x + 2e^x \quad gives that \displaystyle \quad y'= 3 \times\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,.
  3. \displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr) = \tfrac{3}{5}\times 2x - \tfrac{1}{2}\times 3x^2 = \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,.
  4. \displaystyle s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad gives that \displaystyle \quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,.

Beispiel 9

  1. \displaystyle f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad gives that \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = -1 \times x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,.
  2. \displaystyle f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad gives that \displaystyle \quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\times(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \times x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,.
  3. \displaystyle g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad gives that\displaystyle \quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,.
  4. \displaystyle y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \, x^2 \times \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}
    \displaystyle \qquad\quad gives that\displaystyle \quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,.

Beispiel 10

The function \displaystyle f(x)=x^2 + x^{-2} has the derivative

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3}
 = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}

This means, for example, that \displaystyle f^{\,\prime}(2) = 2\times 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4} and that \displaystyle f^{\,\prime}(-1) = 2 \times (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0. However, the derivative \displaystyle f'(0) is not defined.

Beispiel 11

An object moves according to \displaystyle s(t) = t^3 -4t^2 +5t, where \displaystyle s(t) km is the distance from the starting point after \displaystyle t hours. Calculate \displaystyle s'(3) and explain what the value stands for.

Differentiating with respect to the time

\displaystyle s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad
 \text{which gives that}\qquad s'(3) = 3 \times 3^2 - 8 \times 3 + 5
 = 8\,\mbox{.}

This might suggest that after 3 hours the object's speed is 8 km/h.

Beispiel 12

The total cost \displaystyle T dollars for the manufacture of \displaystyle x objects is given by the function

\displaystyle T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2, \quad
 \text{for} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}

Calculate and explain the meaning of the following expressions.

  1. \displaystyle T(120)

    \displaystyle T(120)=40000 + 370 \times 120 - 0{,}09 \times 120^2 = 83104\,.
    The total cost to manufacture 120 objects is 83104 dollars.
  2. \displaystyle T'(120)

    The derivative is given by \displaystyle T^{\,\prime}(x)= 370 - 0\textrm{.}18x and therefore, is
    \displaystyle T^{\,\prime}(120) = 370 - 0\textrm{.}18 \times 120
           \approx 348\textrm{.}
    
    Marginal costs ("the cost to produce an additional 1 object") of 120 manufactured objects is approximately 348 dollars.


Tangents and normals

A tangent to a curve is a straight line tangential to the curve.

A normal to a curve at a point on the curve is a straight line that is perpendicular to the curve at the point (and hence perpendicular to the curve's tangent at this point).

For perpendicular lines, the product of their gradients is \displaystyle –1, i.e. if the tangents gradient is \displaystyle k_T and the normals is \displaystyle k_N then \displaystyle k_T \, k_N = -1. Since we can determine the gradient of a curve with the help of the derivative, we can also determine the equation of a tangent or a normal, if we know the equation for the curve.


Beispiel 13

Determine the equation for the tangent and the normal to the curve \displaystyle y=x^2 + 1 at the point \displaystyle (1,2).

We write the tangents equation as \displaystyle y = kx + m. Since it is to tangent (touch) the curve at \displaystyle x=1 it must have a gradient of \displaystyle k= y'(1), i.e.

\displaystyle y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\times 1 = 2.

The tangent also passes through the point \displaystyle (1,2) and therefore \displaystyle (1,2) must satisfy the tangents equation

\displaystyle 2 = 2 \times 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad
 m = 0.

The tangents equation is thus \displaystyle y=2x.


The gradient of the normal is \displaystyle k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2} .

In addition, the normal also passes through the point \displaystyle (1, 2) , i.e.

\displaystyle 2= -\frac{1}{2}\times 1 + m
 \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}.

The normal has the equation \displaystyle y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}.


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Tangent \displaystyle y=2x Normal \displaystyle y=(5-x)/2


Beispiel 14

The curve \displaystyle y = 2 \, e^x - 3x has a tangent with a gradient of \displaystyle –1. Determine the point of tangency (where the tangent touches the curve).

The derivative of the right-hand side is \displaystyle y' = 2 \, e^x -3 and at the point of tangency the derivative must be equal to \displaystyle -1, that is, \displaystyle y' = -1, and this gives us the equation

\displaystyle 2 \, e^x - 3=-1

which has a solution \displaystyle x=0. At the point \displaystyle x=0 the curve has \displaystyle y-value \displaystyle y(0) = 2 \, e^0 - 3 \times 0 = 2 and therefore the point of tangency is \displaystyle (0,2).

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