Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Eine Gleichung der Form "\displaystyle z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst \displaystyle z und \displaystyle 1 in Polarform

\displaystyle \begin{align} z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,

wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Multipel von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align} r^{4} &= 1\,,\\[5pt] 4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige natürliche Zahl})\textrm{.} \end{align}\right.

Also ist

\displaystyle \left\{\begin{align} r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige natürliche Zahl).} \end{align}\right.

Und die Wurzeln sind

\displaystyle z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3.

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich \displaystyle 0, \displaystyle \pi/2, \displaystyle \pi und \displaystyle 3\pi/2, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Multipel von \displaystyle 2\pi\, von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align} &1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,, \end{align}\right. = \left\{ \begin{align} 1\,,&\\[5pt] i\,,&\\[5pt] -1\,,&\\[5pt] -i\,\textrm{.}& \end{align}\right.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.