Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir schreiben zuerst das Integral als

\displaystyle \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,.

Die Ableitung von \displaystyle \ln x ist \displaystyle 1/x. Wir substituieren \displaystyle u = \ln x und erhalten so

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}

Also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.} \end{align}