Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Da die Funktion für alle x definiert ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Also hat die Gleichung einen stationären Stellen in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Insbesondere gilt

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.