Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Theorie

Übungen

A - Steigende und fallende Funktionen

Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Die formellen Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also, dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:

Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)

Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}

Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einem bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur in einem isolierten Punkt null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

B - Stationäre Punkte

Punkte, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 nennt man stationäre Punkte oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von stationären Punkten:

• Lokale Maxima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links vom Punkt ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts vom Punkt ist.
• Lokale Minima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links vom Punkt ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts vom Punkt ist.
• Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von \displaystyle f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes ist.

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum sein, ohne dass $f^\{\backslash ,\backslash prime\}(x)\; =\; 0;\; lies\; mehr\; darüber\; im\; Abschnitt$Maxima und Minima.

C - Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Maxima oder Minima der Ableitung.

Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, in dem die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.

Die Funktion hat einen lokales Minimum in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokales Maximum in \displaystyle x = 2.

D - Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.

Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 und die Punkte, bei denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Punkten.

E - Maxima und Minima (Extremwerte)

Ein Punkt, in dem die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrempunkten:

• Ein stationärer Punkt (\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
• Ein Punkt, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singulärer Punkt).
• Ein Endpunkt des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist praktikabel:

1. Die Funktion ableiten.
2. Untersuchen, ob es Punkte gibt, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
3. Alle Punkte finden, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 ist.
4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrempunkte finden.
5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

F - Globale Maxima und Minima

Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.

Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das Minimum der Funktion im Punkt \displaystyle x=b ist, und dass das Maximum im Punkt \displaystyle x=e ist.

G - Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.

Falls die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
2. da \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a, ist \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0,
3. also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle x=a.

Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum im Punkt x = a.

Wenn die Funktion \displaystyle f(x) einen stationären Punkt in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
2. da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 ist \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a und \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a,
3. also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum im Punkt \displaystyle x=a.

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum im Punkt x = a.

Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts Weiteres über den stationären Punkt sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.