Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wenn wir die Gleichung für \displaystyle w=\frac{z+i}{z-i} lösen, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2=-1\,\textrm{.}

dessen Wurzeln wir seit vorher schon kennen,

\displaystyle w=\left\{\begin{align} -i\,,&\\[5pt] i\,,& \end{align}\right.

also muss \displaystyle z die Gleichung

\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-i\quad oder \displaystyle \quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle je für sich.

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=-i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}

und ziehen Alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle z+iz=-1-i\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=i(z-i)\,\textrm{.}

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite, und alle Konstanten zur rechten Seite,

\displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.