2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Inhalt:

  • Die Definition des Integrals.
  • Das Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x und \displaystyle \sin x.
  • Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Integrale als Flächen interpretieren.
  • Andere Interpretationen des Integrals kennen, sowie Dichte/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^{kx}, \displaystyle \cos kx, \displaystyle \sin kx und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmen.
  • Die Fläche unter einer Funktion berechnen.

Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen.

  • Wissen, dass nicht alle Funktionen eine analytische Stammfunktion haben wie zum Beispiel \displaystyle e^{x^2} , \displaystyle (\sin x)/x, \displaystyle \sin \sin x, etc.

Die Fläche unter einer Funktion

Wir haben im voriegen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert, und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesen Abschnitt werden wir sehen dass die Fläche zwischen der x-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen können wir z.B die drei fälle unten erhalten:


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Das objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5. Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält. Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

\displaystyle s(6) = 5\times 6 = 30\,\mbox{m},\quad 
 s(6) = 4\times 3 + 6\times 3 = 30\,\mbox{m},\quad
 s(6) = \frac{6\times 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter den Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige beispiele gezeigt, was die Fläche unter einer Graph bedeuten kann.

Beispiel 1


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Eine Sonnenzelle mit der Leistung p, liefert die Energie die proportional zur Fläche unter den Graph ist. Die Kraft F die entlang einer Strecke wirkt, generiert die Arbeit die proportional zur Fläche unter den Graph ist. Ein Kondensator der mit den Strom i geladen wird, enthält eine Ladung die proportional zur Fläche unter den Graph ist.


Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,:

Das Integral von einer positiven Funktion \displaystyle f(x) von \displaystyle a bis \displaystyle b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve \displaystyle y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei vertikalen den Geraden \displaystyle x=a und \displaystyle x=b , and is written with the notation und wird wie folgt geschrieben;

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Die Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion \displaystyle f(x) nennt man Integrand, und den \displaystyle x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=f(x) von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=c ist gleich groß wie die Fläche vión \displaystyle x=a bis \displaystyle x=b plus die Fläche von \displaystyle x=b bis \displaystyle x=c. Dies bedeutet dass
\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx 
 = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

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Beispiel 3

Ein Gegenstand wessen Geschwindigkeit \displaystyle v(t) in den Graph rechts ist. Die Strecke die der Gegenstand nach der Zeit 10 s zurückgelegt ist das Integral
\displaystyle s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}

Note . Wir nehmen hier an dass die Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

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Beispiel 4

Wasser fließt zu einen Tank mit der Geschwindigkeit \displaystyle f(t) Liter/s zur Zeit \displaystyle t. Das Integral

\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt

beschreibt wie viel Wasser in den Tank während der zähnten Sekunde fließt.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Integral

  1. \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx

    Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) \displaystyle y=3 von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = 4, und also ein Rechteck mit der Basis 4 und der Höhe 3,
    \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \times 3 = 12\,\mbox{.}

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  1. \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx

    Das Integral ist die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=x/2-1 von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 5, also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5
    \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \times 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}

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  1. \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad where \displaystyle k>0\,.

    Das Integral ist die Fläche unter der Gerade \displaystyle y=kx, von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = a, und also ein Dreieck mit der Basis \displaystyle a und der Höhe \displaystyle ka
    \displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \times ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}

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Stammfunktionen und Unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist, für einen beliebigen Konstanten \displaystyle C. Man kann auch zeigen dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral benannt, und man schreibt

\displaystyle \int f(x)\, dx\,\mbox{.}

Exempel 6

  1. \displaystyle F(x) = x^3 + \cos x - 5 ist die Stammfunktion von \displaystyle f(x) = 3x^2 - \sin x, nachdem
    \displaystyle F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0 
         = f(x)\,\mbox{.}
  2. \displaystyle G(t) = e^{3t + 1} + \ln t ist die Stammfunktion von \displaystyle g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t, nachdem
    \displaystyle G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr) 
         = e^{3t+1}\times 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}
  3. \displaystyle F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,, wo \displaystyle C eine beliebige Konstante ist.


Verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen

Wir haben schon entdeckt dass die Fläche unter einer Funktion das Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an dass \displaystyle f kontinuierlich in einen Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ beruht dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird der Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

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\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Wir werden jetzt zeigen dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

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Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle t=x plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck wie

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0 bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x) und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) , und also ist

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).


Integrale Rechnen

Um die mit Hilfe der Stammfunktionen das Integrale zu berechnen, notieren wir zuerst dass wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, ist

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

wo die Konstante \displaystyle C so gewählt werden muss dass die rechte Seite null ist wenn \displaystyle b=a und die linke Seite also null auch ist. Also ist

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

und wir erhalten \displaystyle C=-F(a). Wenn wir zusammenfassen, haben wir, dass

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen, und erhalten dann

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die rechnung von Integralen geschieht in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion, und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt meistens,

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}


Beispiel 7

Die Fläche zwischen der Funktion \displaystyle y=2x - x^2 und der x-Achse kann durch den Integral

\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}

berechnet werden. Nachdem \displaystyle x^2-x^3/3 die Stammfunktion von dem Integranden ist, ist der Integral

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}

Die Fläche ist also \displaystyle \frac{4}{3}

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Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.


Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten gibt es generelle Ableitungsregeln. Das umgekehrte ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt.

Durch den bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen,

\displaystyle \begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{where }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C
    \displaystyle \phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C
  2. \displaystyle \int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \, \frac{x^{-2}}{(-2)} + C
    \displaystyle \phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C
  4. \displaystyle \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C


Für die innere Ableitung kompensieren

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung von so einer Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C
  2. \displaystyle \int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C
  3. \displaystyle \int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \times 2} + C

Beispiel 10

  1. \displaystyle \int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C
  2. \displaystyle \int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C
  3. \displaystyle \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C

Diese Methode funktioniert also nur dann wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.


Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen dass:

  1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Weiterhin haben Integrale wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, aber sind ansonsten gleich:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

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Die gesamte Fläche ist \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Hinweis . Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx
    \displaystyle \qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\times 4-2^3+2^2+3\times 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\times 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\times 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}

    [Image]

    Die linke Figur zeigt die Fläche unter der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1, Die linke Figur zeigt die Fläche unter der Funktion g(x) = 2. Die rechte Figur zeigt die Fläche unter der Summe der beiden Funktionen, also f(x) + g(x).


  1. \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx
    \displaystyle \qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\times 3 - \tfrac{3}{2}\times 1 = 3

    [Image]

    Die Funktion to f(x) = x²/2 - 2x (in der linken Figur) und die Funktion g(x) = 2x - x²/2 + 3/2 (in der mitteren Figur) sind Spiegelungen von einander in der Geraden y = 3/4.

    Also ist die Summe f(x) + g(x) = 3/2, und also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Basis  2 und der Höhe  3/2 (in der rechten Figur).


  1. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2


  1. \displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

    [Image]

    Die Figur zeigt die Funktion f(x) = x² - 1 und die Flächen die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen


Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einen Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesen Intervall

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx 
 - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

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Wenn f(x) und g(x) beide positiv sind, und f(x) größer ist als g(x), ist die Fläche zwischen f and g (siehe linke Figur), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Funktionen f (siehe mittlere Figur) und g (siehe rechte Figur).

Es spielt keine Rolle ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird in der Figur hier gezeigt:

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Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die y-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Funktionen f(x9 und g(x) ist dasselbe wir die Fläche zwischen den Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (die mittlere Figur), sowohl wie zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (die rechte Figur).

Beispiel 12

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Kurven \displaystyle y=e^x + 1 und \displaystyle y=1 - x^2/2 und den Geraden \displaystyle x = –1 und \displaystyle x = 1.

Nachdem \displaystyle e^x + 1 > 1 - x^2/2 im ganzen Intervall ist, ist die Fläche:

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \end{align*}

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Beispiel 13

Berechnen Sie die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Funktionen \displaystyle y= x^2 und \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir wenn deren y-Werte gleich sind,

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{or}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}
Zwischen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1, \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 ist die Fläche zwischen den Funktionen
\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\

&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt] &{}= \tfrac{5}{12}\ \end{align*}

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Beispiel 14

Berechnen Sie die Fläche von den begrenzten Gebiet zwischen den Funktionen \displaystyle y=\frac{1}{x^2}, \displaystyle y=x und \displaystyle y = 2.

In der Figur sehen wir dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets, ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebieten,

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx 
 \quad\text{and}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

Wir suchen zuerst die Schnittstellen \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c:

[Image]

  • Die Schnittstelle \displaystyle x=a erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}
(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant)
  • Die Schnittstelle \displaystyle x=b erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}
  • Die Schnittstelle \displaystyle x=a erhalten wir durch die Gleichung \displaystyle x = 2.

Das Integral ist also

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}

\end{align*}

und die Fläche ist

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\
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