Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Theorie

Übungen

Steigende und fallende Funktionen

Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.

Die formelle Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng steigend und streng fallend:

Eine Funktion f ist streng steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall:

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)

Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}

Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.

Stationäre Punkte

Punkte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:

• Lokaler Hochpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts vom Punkt ist.
• Lokaler Tiefpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links vom Punkt ist, und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts vom Punkt ist.
• Sattelpunkt wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 oder \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 auf beiden Seiten des Punktes ist.

Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.

Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn x = 0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensinn, haben keine Sattelpunkte.

Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokalen Hochpunkt in \displaystyle x = 2.

Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.

Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte wo \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten.

Maxima und Minima (Extremwerte)

A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings is called a local maximum or local minimum (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as extrema.

An extremum may occur in one of three ways:

• At a stationary point (where \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
• At a point where the derivative does not exist (known as a singular point).
• At an endpoint to the interval where Die Funktion is defined.

When one is looking for the extrema of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:

1. Differentiate Die Funktion.
2. Check to see if there are any points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) is not defined.
3. Determine all points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0.
4. Make a table of signs to locate and classify all of the extrema.
5. Calculate the value of Die Funktion for all the extrema and at any endpoints.

Global min / max

A function has aglobal maximum at a point if its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where Die Funktion's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.

To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of Die Funktion at them. If Die Funktion is defined on an interval with endpoints, one must of course also examine its value at these points.

Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.

In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of Die Funktion. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.

The above function is only of interest in the interval \displaystyle a\le x \le e. We see that the minimum value of Die Funktion in this interval occurs at the stationary point \displaystyle x=b, while the maximim value is found at the endpoint \displaystyle x=e.

The second derivative

The sign of the derivative of a function gives us information about whether Die Funktion is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the second derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.

If Die Funktion \displaystyle f(x) has a stationary point at \displaystyle x=a where \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, then

1. The derivative \displaystyle f^{\,\prime}(x) is strictly decreasing in some interval surrounding \displaystyle x=a.
2. Since \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 then \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 to the left of \displaystyle x=a and \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 to the right of \displaystyle x=a.
3. This means that Die Funktion \displaystyle f(x) has a local maximum at \displaystyle x=a.

If the derivative is positive to the left of x = a and negative to the right of x = a the function has a local maximum at x = a.

If Die Funktion \displaystyle f(x) has a stationary point at \displaystyle x=a where \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, then

1. The derivative \displaystyle f^{\,\prime}(x) is strictly increasing in some interval around \displaystyle x=a.
2. Since \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 then \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 to the left of \displaystyle x=a and \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 to the right of \displaystyle x=a.
3. This means that Die Funktion \displaystyle f(x) has a local minimum at \displaystyle x=a.

If the derivative is negative to the left of x = a and positive to the right of x = a the function has a local minimum at x = a.

If \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of signs. Note in particular that \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 does not imply that the point is a stationary point of inflexion (although \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).