Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Nachdem \displaystyle z und \displaystyle \bar{z} in der Gleichung, we cannot use \displaystyle z (oder \displaystyle \bar{z}) lösen, und wir lassen statt dessen

\displaystyle z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil \displaystyle x und den Imaginärteil \displaystyle y.

Die linke Seite der Gleichung bekommt dann

\displaystyle \begin{align} (1+i)(x-iy)+i(x+iy) &= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt] &= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt] &= x+(2x-y)i \end{align}

und die Gleichung ist also

\displaystyle x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, und also erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x=3 und \displaystyle y=2x-5=2\cdot 3-5=1. Also ist die Lösung der Gleichung \displaystyle z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir \displaystyle z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt] &= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt] &= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt] &= 3+5i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}