Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Die Endpunkte des Intervalls wo die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch dass \displaystyle \ln x nur definiert ist wenn \displaystyle x > 0. Daher hat die Funktion keine Endpunkte (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), und also kann die Bedienung 3 oben keine Extremwerte ergeben. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, nachdem \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, und also erhalten wir keine Extremwerte durch die 2:e Bedienung.

Jetzt bestehen nur noch die stationären Punkte. Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1

Wir sehan dass diese Funktion null ist wenn

\displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}

Wir berechnen die zweite Ableitung um den Charakter dieses Extrempunktes zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, und also ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,

Also ist \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minima.