Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}

um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden. Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,

also

\displaystyle (x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, und also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Von der Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)

sahen wir dass sie immer größer als null ist, und also ist die Funktion streng steigend. Wir haben keine weitere Information als einige Funktionswerte um die Funktion zu zeichnen.