Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Wir betrachten die Funktion wie "Der Logarithmus von irgendetwas",

\displaystyle \ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,

wo das "irgendetwas" \displaystyle \ln x ist.

Nachdem die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel,

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,

wo der erste Faktor \displaystyle 1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} die äußere Ableitung von \displaystyle \ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} ist, und der zweite Faktor \displaystyle \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)' die innere Ableitung ist. Wir erhalten also

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}