Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Theorie

Übungen

Polynome

Ausdrücke auf der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0

wo \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome mit dem Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.

Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen, und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.

Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom mit den Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung mit den Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Das Beispiel zeigt dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Man kann auch schreiben dass \displaystyle \ 37= 7\times 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient benannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7, un den Rest 2 ergibt.

Analog gilt es, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren, und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}

oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0 sagt man dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist, oder dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Dies schreibt man

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}

oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.

Polynomdivision

Wenn \displaystyle p(x) ein Grad hat der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Multiplen von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht, bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..

Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders sagt man dass wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x) , also

\displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ bedeutet dies dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.

Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann, oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist dass die komplexe Zahlen ausreichend sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss zeigte im Jahr 1799 das Fundamentalsatz der Algebra:

Nachdem aber jede Nullstelle einen Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

(Multiplizität bedeutet dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache nullstelle dreimal. etc.)

Note that these theorems only say that there exist complex roots of a polynomial, but not how to determine them. In general, there is no simple method to write a formula for the roots, and for polynomials of higher degree, we must use various devices to obtain a solution. If we restrict ourselves to polynomial with real coefficients, one of the devices that can help us is the knowledge that the complex roots of such polynomials always come in complex conjugate pairs.

One consequence of the fundamental theorem of algebra (and the factor theorem) is that all polynomials can be factored into a product of complex linear factors. This also applies to polynomials with real coefficients, but for such polynomials it is possible to multiply together the pair of factors belonging to complex conjugate roots. In this case the factorisation will consist of linear and quadratic real factors.