1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Regenerate images and tabs)
Zeile 1: Zeile 1:
-
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Vald flik|[[1.3 Max- och minproblem|Teori]]}}
+
{{Vald flik|[[1.3 Max- och minproblem|Theory]]}}
-
{{Ej vald flik|[[1.3 Övningar|Övningar]]}}
+
{{Ej vald flik|[[1.3 Övningar|Exercises]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
Zeile 9: Zeile 8:
{{Info|
{{Info|
'''Innehåll:'''
'''Innehåll:'''
-
* Kurvskissering
+
* Sketching curves
-
* Max- och minproblem
+
* Maximum and minimum problems
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Learning outcomes:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
After this section, you will have learned :
-
* Kunna definitionen av strängt växande funktion, strängt avtagande funktion, lokalt maximum, lokalt minimum, globalt maximum, globalt minimum.
+
* The definition of strictly increasing functions, strictly decreasing functions, local maximum, local minimum, global maximum, global minimum.
-
* Veta att om <math>f^{\,\prime}>0</math> i ett intervall så är <math>f</math> strängt växande i intervallet, och att om <math>f^{\,\prime}<0</math> i ett intervall så är <math>f</math> strängt avtagande i intervallet.
+
* That if <math>f^{\,\prime}>0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly increasing in the interval, and that if <math>f^{\,\prime}<0</math> in a interval then <math>f</math> is strictly decreasing in the interval.
-
* Kunna bestämma lokala max- och minpunkter samt terasspunkter genom teckenstudium av derivatan.
+
* To determine local maximums and minimums and points of inflection by studying the sign of the derivative.
-
* Kunna skissera funktionsgrafer genom att göra en teckentabell över derivatan.
+
* To sketch the graph of a function by constructing a table of signs for the derivative.
-
* Kunna bestämma globala och lokala max- och minpunkter genom 1)&nbsp;teckenstudium av derivatan, 2)&nbsp;punkter där funktionen inte är deriverbar, 3)&nbsp;ändpunkter till definitionsmängden.
+
* To determine the global and local maximums and minimums by 1)&nbsp;studying the sign of the derivative, 2)&nbsp;points where the function is not differentiable, 3)&nbsp;the endpoints of the interval where the function is defined.
-
* Kunna avgöra lokala max- och minpunkter med tecknet på andraderivatan.
+
* To distinguish between local maximums and minimums from the the sign of the second order derivative.
}}
}}
-
== Växande och avtagande ==
+
== Increasing and decreasing ==
-
Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och om den är avtagande så lutar grafen nedåt.
+
The concepts of increasing and decreasing may seem obvious when talking about mathematical functions, if the function is increasing then the graph slopes upwards and if it is decreasing it slopes downwards.
-
De matematiska definitionerna är följande:
+
The mathematical definitions are as follows:
-
En funktion är växande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
+
A function is increasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
-
En funktion är avtagande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
+
A function is decreasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
-
Med vardagligt språk säger alltså definitionen av t.ex. växande funktion att för ett ''x''-värde till höger på ''x''-axeln är funktionsvärdet minst lika stort som för ett ''x''-värde till vänster. Lägg märke till att denna definition innebär att en funktion kan vara konstant i ett intervall och ändå vara växande eller avtagande. En funktion som är konstant i hela det aktuella intervallet är enligt definitionen både växande och avtagande.
+
In everyday language the definition says, for example, that for a increasing function for any ''x''-value to the right on the ''x''-axis, the value of the function is at least as large as it is for any ''x''-value to the left. Please note that this definition means that a function can be constant in a interval, and still be considered to be increasing or decreasing. A function that is constant throughout an interval, according to the definition, is both increasing and decreasing.
 +
If one wants to exclude the possibility that an increasing / decreasing function is constant in an interval one rather talks of ''strictly'' increasing and ''strictly'' decreasing functions:
-
Om man vill utesluta möjligheten att en växande/avtagande funktion är konstant på ett intervall talar man i stället om ''strängt'' växande och ''strängt'' avtagande funktioner:
+
A function is ''strictly'' increasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
-
 
+
-
En funktion är ''strängt'' växande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
+
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
-
En funktion är ''strängt'' avtagande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
+
A function is ''strictly'' decreasing in an interval if for <math>x_1</math> och <math>x_2</math> within the interval
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
-
(En strängt växande/avtagande funktion får alltså inte vara konstant i någon del av intervallet.)
+
(A strict increasing / decreasing function cannot be constant in any part of the interval.)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 60: Zeile 58:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Funktionen <math>y= f(x)</math> vars graf ges av figuren nedan längst till
+
<li> The function <math>y= f(x)</math> whose graph is given in the chart below on the far left is increasing in the interval <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
-
vänster är växande i intervallet <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
+
<li> The function <math>y=-x^3\!/4</math> is a strictly decreasing function.</li>
-
<li>Funktionen <math>y=-x^3\!/4</math> är en strängt avtagande funktion.</li>
+
<li> The function <math>y=x^2</math> s a strictly increasing function for <math>x \ge 0</math>.</li>
-
<li>Funktionen <math>y=x^2</math> är strängt växande för <math>x \ge 0</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
 +
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 74: Zeile 72:
||{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x²}}
||{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x²}}
|-
|-
-
||<small>Grafen till funktionen<br> i uppgift&nbsp;a</small>
+
||<small>Graph of the function in part <br> &nbsp;a</small>
||
||
-
||<small>Grafen till funktionen<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
+
||<small>Graph of the function<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
||
||
-
||<small>Grafen till funktionen<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
+
||<small>Graph of the function<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
|}
|}
</div>
</div>
-
Derivatan kan givetvis användas för att undersöka om en funktion är växande eller avtagande. Vi har att
+
The derivative may of course be used to examine whether a function is increasing or decreasing. We have that
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) växande.}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) avtagande.} \end{align*}</math>}}
+
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ is (strictly) increasing.}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ is (strictly) decreasing.} \end{align*}</math>}}
-
Observera att även enstaka '''punkter''' där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> kan ingå i ett strängt växande eller avtagande intervall.
+
Note that even isolated '''points''' where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> can be part of a strictly increasing or decreasing interval.
-
== Kritiska punkter ==
+
== Critical points ==
-
Punkter där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:
+
Points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> are known as critical (or stationary) points and are usually one of three kinds:
-
* Lokal maximipunkt med <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> till vänster, och <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> till höger om punkten.
+
* Local maximum with <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> to the left, and <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> to the right of the point.
-
* Lokal minimipunkt med <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> till vänster, och <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> till höger om punkten.
+
* Local minimum with <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> to the left, and <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> to the right of the point.
-
* Terrasspunkt med <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> eller <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> på båda sidor om punkten.
+
* Point of inflection with <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> or <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> on both sides of the point.
-
Observera att en punkt kan vara en lokal maximi- eller minimipunkt utan att <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; läs mer i avsnittet om ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)|max- och minpunkter]]''.
+
Note that a point may be a local maximum or minimum without <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; l more about this in the section on ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)|maximums and minimums]]''.
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - x⁵}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - x⁵}}</center>
-
Funktionen i figuren ovan har en lokal minimipunkt för <math>x = -2</math>, terrasspunkt för <math>x = 0</math> och lokal maximipunkt för <math>x = 2</math>.
+
The function in the above figure has a local minimum for <math>x = -2</math>, a point of inflection for <math>x = 0</math> and a local maximum for <math>x = 2</math>.
-
== Teckentabell ==
+
== Table of signs ==
-
Genom att studera derivatans tecken (+, – eller 0) kan vi alltså få en bra uppfattning om kurvans utseende.
+
By studying the derivative sign (+, - or 0), we therefore can obtain a good idea of the curve's appearance.
-
Detta utnyttjar man i en s.k. ''teckentabell''. Man bestämmer först de ''x''-värden där <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> och beräknar sedan derivatans tecken på båda sidor om dessa. Med hjälp av en eller annan "stödpunkt" på kurvan kan man dessutom utifrån teckentabellen skissera kurvan på ett ofta godtagbart sätt.
+
One creates a so called ''table of signs''. One first determines the ''x''- values where <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> and then calculates the sign of the derivative on both sides of these points. With the help of some other "backup" points on the curve and using the table of signs one usually can obtain a satisfactory sketch of the curve.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Exempel 2'''
'''Exempel 2'''
-
Gör en teckentabell över derivatan av funktionen <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> och skissera därefter funktionens graf.
+
Make a table of signs of the derivatives of the function <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> and then sketch the graph of the function.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Funktionens derivata ges av
+
The functions derivative is given by
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
-
Faktorn <math>x-2</math> är negativ till vänster om <math>x=2</math> och positiv till höger om <math>x=2</math>. På samma sätt är faktorn <math>x+2</math> negativ till vänster om <math>x=-2</math> och positiv till höger om <math>x=-2</math>. Denna information kan vi också sammanfatta i en tabell:
+
The factor <math>x-2</math> is negative to the left of <math>x=2</math> and positive to the right of <math>x=2</math>. In the same way the factor <math>x+2</math> is negative to the left of <math>x=-2</math> and positive to the right of <math>x=-2</math>. This information can be summarised in a table:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 147: Zeile 145:
|}
|}
-
Eftersom derivatan är produkten av <math>x-2</math> och <math>x+2</math> så kan vi bestämma derivatans tecken utifrån faktorernas tecken och ställa upp följande tabell över derivatans tecken på tallinjen:
+
Since the derivative is the product of <math>x-2</math> and <math>x+2</math> we thus can determine the derivative sign on the basis of the sign of these factors and create the following table of signs for the derivative on the real-number axis :
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 173: Zeile 171:
|}
|}
-
I tabellens sista rad har vi skrivit ut pilar som visar om funktionen är strängt växande&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> eller strängt avtagande&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> i respektive intervall samt funktionens värde i de kritiska punkterna <math>x=-2</math> och <math>x=2</math>.
+
In the table's last line, we have given arrows that show whether the function is strictly increasing&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> or strictly decreasing&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> in each interval as well as the value of the function value at the critical points <math>x=-2</math> och <math>x=2</math>.
-
Från diagrammet ser vi att <math>f(x)</math> har en lokal maximipunkt i <math>(–2, 22)</math> och en lokal minimipunkt i <math>(2, –10)</math>. Grafen kan nu skissas:
+
From the figure, we see that <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>(–2, 22)</math> and a local minimum at <math>(2, –10)</math>. The graph now can be sketched:
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
Zeile 182: Zeile 180:
-
== Max- och minpunkter (extrempunkter) ==
+
== Maximums and minimums (extreme points) ==
-
Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för ''lokala maximi-'' eller ''minimipunkter'' (förkortas ofta max- och minpunkter). Med ett gemensamt namn kallas dessa punkter för ''extrempunkter''.
+
A point in which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its surroundings is called a ''local maximum '' or ''local minimum'' (often abbreviated to max and min). A joint name is ''extreme point'' or just ''extreme''.
-
En extrempunkt kan uppträda i tre olika slags punkter:
+
A extreme may occur in one of three ways:
-
:* I en kritisk punkt (där <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
+
:* At a critical point (where <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
-
:* I en punkt där derivatan inte existerar (s.k. ''singulär punkt'').
+
:* At a point where the derivative does not exist (known as a ''singular point'').
-
:* I en ändpunkt till definitionsmängden.
+
:* At an endpoint to the interval where the function is defined.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Example 3'''
-
Funktionen nedan har fyra extrempunkter: maxpunkter i <math>x=c</math> och <math>x=e</math>, och minpunkter i <math>x=a</math> och <math>x=d</math>.
+
For the function below there are four extreme points: maximum at <math>x=c</math> and <math>x=e</math>, and minimum at <math>x=a</math> and <math>x=d</math>.
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f har extrempunkter i x = a, b, c, d, e}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f har extrempunkter i x = a, b, c, d, e}}</center>
-
I <math>x=a</math>, <math>x=b</math> och <math>x=d</math> är <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, men det är endast i <math>x=a</math> och <math>x=d</math> som vi har extrempunkter, eftersom <math>x=b</math> är en terrasspunkt.
+
At <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=d</math> one has <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, but it is only at <math>x=a</math> and <math>x=d</math> one has extreme points, since <math>x=b</math> is a point of inflection.
-
I <math>x=c</math> är inte derivatan definierad (eftersom det är en spets, eller hörn, på kurvan och lutningen inte går att bestämma). Punkten <math>x=e</math> är en ändpunkt.
+
At <math>x=c</math> the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point <math>x=e</math> is an endpoint.
</div>
</div>
-
När man letar efter extrempunkter hos en funktion gäller det alltså att ta reda på och undersöka alla tänkbara kandidater av punkter. En lämplig arbetsgång är:
+
When one is looking for extreme points of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:
-
:# Derivera funktionen.
+
:# Differentiate the function.
-
:# Kontrollera om det finns några punkter där <math>f^{\,\prime}(x)</math> inte är definierad.
+
:# Check to see if there are any points where <math>f^{\,\prime}(x)</math> is not defined.
-
:# Bestäm alla punkter där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
+
:# Determine all points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
-
:# Gör en teckentabell för att få fram alla extrempunkter.
+
:# Make a table of signs to get all of the extreme points.
-
:# Beräkna funktionsvärdet i alla extrempunkter, samt i eventuella ändpunkter.
+
:# Calculate the value of the function for all the extreme points and at any endpoints.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Example 4'''
-
Bestäm alla extrempunkter på kurvan <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
+
Determine all the extreme points on the curve <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Funktionens derivata ges av
+
The functions derivative is given by
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
-
För att bestämma hur derivatans tecken varierar över tallinjen försöker vi faktorisera derivatan så långt som möjligt. Vi har redan lyckats bryta ut faktorn <math>12x</math> och vi kan faktorisera det återstående uttrycket <math>x^2+x-2</math> ytterligare genom att hitta dess nollställen
+
In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis , we factorise the derivative as far as possible. We have already managed to factorise out <math>12x</math> and we can factorise further the remaining term <math>x^2+x-2</math> by identifying its zeros
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.</math>}}
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.</math>}}
-
Detta betyder att <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> och hela derivatan kan skrivas som
+
This means that <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> and the derivative can be rewritten as
{{Fristående formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Det går direkt ur denna formel att se att derivatan är noll för <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> och <math>x=1</math>. Dessutom kan vi se hur derivatans tecken varierar genom att undersöka tecknet för varje enskild faktor i produkten för olika värden på <math>x</math>
+
It can be seen immediately from this that the derivative is zero for <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> and <math>x=1</math>. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of <math>x</math>
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 275: Zeile 273:
|}
|}
-
Derivatan är produkten av dessa faktorer och vi får derivatans tecken genom att multiplicera ihop faktorernas tecken i respektive intervall.
+
The derivative is the product of these factors and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 308: Zeile 306:
|}
|}
-
Kurvan har alltså lokala minpunkter i <math>(–2, –20)</math> och <math>(1, 7)</math> samt lokal maxpunkt i <math>(0, 12)</math>.
+
The curve has thus local minimums at <math>(–2, –20)</math> and <math>(1, 7)</math> and a local maximum at <math>(0, 12)</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Example 5'''
-
Bestäm alla extrempunkter på kurvan <math>y= x - x^{2/3}</math>.
+
Determine all extreme points for the curve <math>y= x - x^{2/3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Derivatan av funktionen ges av
+
The derivative of the function is given by
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
Zeile 324: Zeile 322:
\cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
\cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
-
Från detta uttryck ser vi att <math>y'</math> inte är definierad för <math>x = 0</math> (vilket dock <math>y</math> är). Detta betyder att funktionen har en singulär punkt i <math>x=0</math>.
+
From this expression, we see that <math>y'</math> is not defined for <math>x = 0</math> (which <math>y</math> is however). This means that the function has a singular point at <math>x=0</math>.
-
De kritiska punkterna till funktionen ges av
+
The critical points for the function are given by
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
Zeile 334: Zeile 332:
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
-
De enda punkter där funktionen eventuellt kan ha extrempunkter är alltså <math>x=0</math> och <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. För att avgöra dessa punkters karaktär skriver vi upp en teckentabell:
+
The only points for which the function might have extreme points are thus <math>x=0</math> and <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 360: Zeile 358:
|}
|}
-
Kurvan har alltså en lokal maximipunkt i <math>(0, 0)</math> (en spets) och en lokal minimipunkt i <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
+
The curve has a local maximum at <math>(0, 0)</math> (a cusp) and a local minimum at <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x - x^⅔}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x - x^⅔}}</center>
Zeile 367: Zeile 365:
-
== Absolut min/max ==
+
== Absolute min / max ==
-
En funktion har ett ''absolut'' (eller ''globalt'') maximum (minimum) i en punkt om funktionsvärdet inte är större (mindre) i någon annan punkt i hela definitionsmängden. Ofta kallar man också detta för funktionens största (minsta) värde.
+
A function has an ''absolute'' (or ''global'') maximum (minimum) at a point if the value of the function is not greater (less) than any other point in the interval where the function is defined. This often is called the functions largest (least) value.
-
För att bestämma en funktions absoluta max. eller min. så måste man alltså hitta alla extrempunkter och beräkna funktionsvärdena i dessa. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter.
+
To determine a functions absolute max or min one must therefore find all the extreme points and calculate the values of the function at them. If the interval where the function is defined has endpoints, one must of course examine the function value at these points.
-
Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. som absolut min. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. eller min.
+
Note that an function may lack both an absolute max and an absolute min. Note also that a function can have several local extreme points without having a global max or min.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Example 6'''
<center>{{:1.3 - Figur - Två funktioner som saknar min och max resp. min}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Två funktioner som saknar min och max resp. min}}</center>
-
I den första figuren saknar funktionen såväl globalt maximum som globalt minimum. I den andra figuren saknar funktionen globalt minimum.
+
In the first figure the function has no global maximum nor global minimum. In the second figure the function has no global minimum.
</div>
</div>
-
I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. man betraktar endast en del av funktionens graf. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. eller min. mycket väl kan ligga i intervallets ändpunkter.
+
In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of the function. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.
<center>{{:1.3 - Figur - Funktion med lokala och globala extrempunkter}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Funktion med lokala och globala extrempunkter}}</center>
-
Funktionen ovan betraktas endast i intervallet <math>a\le x \le e</math>. Vi ser att funktionens minsta värde i detta intervall inträffar i den kritiska punkten <math>x=b</math>, medan största värdet återfinns i ändpunkten <math>x=e</math>.
+
The above function is only of interest in the interval <math>a\le x \le e</math>. We see that the minimum value of the function in this interval occurs at the critical point, <math>x=b</math>, while the maximim value is found at the endpoint <math>x=e</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Example 7'''
-
Bestäm största och minsta värde för funktionen <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> i intervallet <math>-0{,}5 \le x \le 1\,</math>.
+
Determine the maximum and minimum value of the function <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> in the interval <math>-0{,}5 \le x \le 1\,</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Vi deriverar funktionen, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, och sätter derivatan lika med noll för att få fram alla kritiska punkter
+
We differentiate the function, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, and put the derivative equal to zero to obtain all the critical points
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
-
Punkten <math>x = –1</math> ligger dock utanför den aktuella definitionsmängden och <math>x = 1</math> sammanfaller med definitionsmängdens ena ändpunkt. Eftersom funktionen saknar singulära punkter (funktionen är deriverbar överallt) måste funktionens största och minsta värde antas i intervallets ändpunkter,
+
The point <math>x = –1</math> is outside the interval where the function is defined and <math>x = 1</math> lies on the interval where the function is defined at one endpoint. Since the function has no singular points (the function is is differentiable everywhere) the functions maximum and minimum must be at the intervals endpoints,
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f(-0{,}5) &= 3{,}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f(-0{,}5) &= 3{,}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
-
Funktionens största värde i det givna intervallet är alltså <math>3{,}375</math>. Minsta värdet är <math>0</math> (se figuren).
+
The functions maximum value in the given interval is thus <math>3{,}375</math>. The minimum value is <math>0</math> (see the figure).
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
-
Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen.
+
The figure shows the function with the whole graph as a dotted curve , and with the part that is within the given interval as a continuous curve.
</div>
</div>
-
== Andraderivatan ==
+
== The second derivative ==
-
Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande. Detta kan man bl.a. utnyttja för att ta reda på om en given extrempunkt är en max-, eller minpunkt.
+
The sign of the derivative of a function gives us information about whether the function is increasing or decreasing. Similarly, the second order derivatives sign can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extreme point is a maximum or minimum.
-
Om funktionen <math>f(x)</math> har en kritisk punkt i <math>x=a</math> där <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, då gäller att
+
If the function <math>f(x)</math> has a critical point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, then
-
# Derivatan <math>f^{\,\prime}(x)</math> är strängt avtagande i en omgivning kring <math>x=a</math>.
+
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly decreasing in some interval surrounding <math>x=a</math>.
-
# Eftersom <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> är alltså <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> till vänster om <math>x=a</math> och <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> till höger om <math>x=a</math>.
+
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the right of <math>x=a</math>.
-
# Detta medför att funktionen <math>f(x)</math> har en lokal maximipunkt i <math>x=a</math>.
+
# This means that the function <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>x=a</math>.
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med negativ andraderivata}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med negativ andraderivata}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>Om derivatan är positiv till vänster om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' och negativ till höger om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' så har funktionen ett lokalt maximum i ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> If the derivative is positive to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and negative to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local maximum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
Om funktionen <math>f(x)</math> har en kritisk punkt i <math>x=a</math> där <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, då gäller att
+
If the function <math>f(x)</math> has a critical point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, then
-
# Derivatan <math>f^{\,\prime}(x)</math> är strängt växande i en omgivning kring <math>x=a</math>.
+
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly increasing in some interval around <math>x=a</math>.
-
# Eftersom <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> är alltså <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> till vänster om <math>x=a</math> och <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> till höger om <math>x=a</math>.
+
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the right of <math>x=a</math>.
-
# Detta medför att funktionen <math>f(x)</math> har en lokal minimipunkt i <math>x=a</math>.
+
# This means that the function <math>f(x)</math> has a local minimum at <math>x=a</math>.
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med positiv andraderivata}}</center>
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med positiv andraderivata}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>Om derivatan är negativ till vänster om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' och positiv till höger om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' så har funktionen ett lokalt minimum i ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small>If the derivative is negative to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and positive to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local minimum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
Om <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, får vi ingen information utan ytterligare undersökning krävs, t.ex. teckentabell.
+
If <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, no information can be deduced, but further investigation is required, for example by means of a table of signs.
Zeile 449: Zeile 447:
'''Exempel 8'''
'''Exempel 8'''
-
Bestäm alla extrempunkter för funktionen <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> och bestäm deras karaktär med hjälp av andraderivatan.
+
Determine all the extreme points for the function <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> and determine their character by using the second order derivative.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Funktionen är ett polynom och är därför deriverbar överallt. Om funktionen har några extrempunkter så måste de därför finnas bland de kritiska punkterna. Vi deriverar därmed funktionen, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, och sätter derivatan lika med noll
+
This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If the function has some extreme points they must therefore be found among the critical points. We thus differentiate the function, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, and equate the derivative to zero
{{Fristående formel||<math>
{{Fristående formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
-
x=1 \quad\text{eller}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 
 +
The function has critical points at <math>x = 1</math> and <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. By examining the sign of the second order derivative <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> we can classify the extreme points for each critical point .
-
Funktionen har kritiska punkter i <math>x = 1</math> och <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Med hjälp av tecknet på andraderivatan <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> kan vi bestämma vilken typ av extrempunkt respektive kritisk punkt är.
+
* For <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> and that means that <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> is a local maximum.
-
*För <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> har vi att <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> och det betyder att <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> är en lokal maximipunkt.
+
* For <math>x=1</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> and that means that <math>x=1</math> is a local maximum.
-
*För <math>x=1</math> har vi att <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> och det betyder att <math>x=1</math> är en lokal minimipunkt.
+
</div>
</div>

Version vom 17:06, 20. Jul. 2008

 
  1. REDIRECT Template:Gewählter Tab
  2. REDIRECT Template:Nicht gewählter Tab
 

Innehåll:

  • Sketching curves
  • Maximum and minimum problems

Learning outcomes:

After this section, you will have learned :

  • The definition of strictly increasing functions, strictly decreasing functions, local maximum, local minimum, global maximum, global minimum.
  • That if \displaystyle f^{\,\prime}>0 in an interval then \displaystyle f is strictly increasing in the interval, and that if \displaystyle f^{\,\prime}<0 in a interval then \displaystyle f is strictly decreasing in the interval.
  • To determine local maximums and minimums and points of inflection by studying the sign of the derivative.
  • To sketch the graph of a function by constructing a table of signs for the derivative.
  • To determine the global and local maximums and minimums by 1) studying the sign of the derivative, 2) points where the function is not differentiable, 3) the endpoints of the interval where the function is defined.
  • To distinguish between local maximums and minimums from the the sign of the second order derivative.


Inhaltsverzeichnis

Increasing and decreasing

The concepts of increasing and decreasing may seem obvious when talking about mathematical functions, if the function is increasing then the graph slopes upwards and if it is decreasing it slopes downwards.

The mathematical definitions are as follows:

A function is increasing in an interval if for all \displaystyle x_1 and \displaystyle x_2 within the interval

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

A function is decreasing in an interval if for all \displaystyle x_1 and \displaystyle x_2 within the interval

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

In everyday language the definition says, for example, that for a increasing function for any x-value to the right on the x-axis, the value of the function is at least as large as it is for any x-value to the left. Please note that this definition means that a function can be constant in a interval, and still be considered to be increasing or decreasing. A function that is constant throughout an interval, according to the definition, is both increasing and decreasing.

If one wants to exclude the possibility that an increasing / decreasing function is constant in an interval one rather talks of strictly increasing and strictly decreasing functions:

A function is strictly increasing in an interval if for all \displaystyle x_1 and \displaystyle x_2 within the interval

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

A function is strictly decreasing in an interval if for \displaystyle x_1 och \displaystyle x_2 within the interval

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

(A strict increasing / decreasing function cannot be constant in any part of the interval.)

Exempel 1

  1. The function \displaystyle y= f(x) whose graph is given in the chart below on the far left is increasing in the interval \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. The function \displaystyle y=-x^3\!/4 is a strictly decreasing function.
  3. The function \displaystyle y=x^2 s a strictly increasing function for \displaystyle x \ge 0.


1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f är styckvis linjär och konstant 1.3 - Figur - Grafen f(x) = -x³/4 1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x²
Graph of the function in part
 a 		Graph of the function
f(x) = - x³/4 		Graph of the function
f(x) = x²

The derivative may of course be used to examine whether a function is increasing or decreasing. We have that

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

Note that even isolated points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 can be part of a strictly increasing or decreasing interval.


Critical points

Points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 are known as critical (or stationary) points and are usually one of three kinds:

  • Local maximum with \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 to the left, and \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 to the right of the point.
  • Local minimum with \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 to the left, and \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 to the right of the point.
  • Point of inflection with \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 or \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 on both sides of the point.

Note that a point may be a local maximum or minimum without \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; l more about this in the section on maximums and minimums.

1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - x⁵

The function in the above figure has a local minimum for \displaystyle x = -2, a point of inflection for \displaystyle x = 0 and a local maximum for \displaystyle x = 2.


Table of signs

By studying the derivative sign (+, - or 0), we therefore can obtain a good idea of the curve's appearance.

One creates a so called table of signs. One first determines the x- values where \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 and then calculates the sign of the derivative on both sides of these points. With the help of some other "backup" points on the curve and using the table of signs one usually can obtain a satisfactory sketch of the curve.

Exempel 2

Make a table of signs of the derivatives of the function \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 and then sketch the graph of the function.

The functions derivative is given by

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

The factor \displaystyle x-2 is negative to the left of \displaystyle x=2 and positive to the right of \displaystyle x=2. In the same way the factor \displaystyle x+2 is negative to the left of \displaystyle x=-2 and positive to the right of \displaystyle x=-2. This information can be summarised in a table:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Since the derivative is the product of \displaystyle x-2 and \displaystyle x+2 we thus can determine the derivative sign on the basis of the sign of these factors and create the following table of signs for the derivative on the real-number axis :

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In the table's last line, we have given arrows that show whether the function is strictly increasing \displaystyle (\,\nearrow\,\,) or strictly decreasing \displaystyle (\,\searrow\,\,) in each interval as well as the value of the function value at the critical points \displaystyle x=-2 och \displaystyle x=2.

From the figure, we see that \displaystyle f(x) has a local maximum at \displaystyle (–2, 22) and a local minimum at \displaystyle (2, –10). The graph now can be sketched:

1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 12x + 6


Maximums and minimums (extreme points)

A point in which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its surroundings is called a local maximum or local minimum (often abbreviated to max and min). A joint name is extreme point or just extreme.

A extreme may occur in one of three ways:

  • At a critical point (where \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • At a point where the derivative does not exist (known as a singular point).
  • At an endpoint to the interval where the function is defined.

Example 3

For the function below there are four extreme points: maximum at \displaystyle x=c and \displaystyle x=e, and minimum at \displaystyle x=a and \displaystyle x=d.

1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f har extrempunkter i x = a, b, c, d, e

At \displaystyle x=a, \displaystyle x=b and \displaystyle x=d one has \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, but it is only at \displaystyle x=a and \displaystyle x=d one has extreme points, since \displaystyle x=b is a point of inflection.

At \displaystyle x=c the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point \displaystyle x=e is an endpoint.

When one is looking for extreme points of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:

  1. Differentiate the function.
  2. Check to see if there are any points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) is not defined.
  3. Determine all points where \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0.
  4. Make a table of signs to get all of the extreme points.
  5. Calculate the value of the function for all the extreme points and at any endpoints.

Example 4

Determine all the extreme points on the curve \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

The functions derivative is given by

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis , we factorise the derivative as far as possible. We have already managed to factorise out \displaystyle 12x and we can factorise further the remaining term \displaystyle x^2+x-2 by identifying its zeros

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

This means that \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) and the derivative can be rewritten as

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

It can be seen immediately from this that the derivative is zero for \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 and \displaystyle x=1. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of \displaystyle x

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

The derivative is the product of these factors and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

The curve has thus local minimums at \displaystyle (–2, –20) and \displaystyle (1, 7) and a local maximum at \displaystyle (0, 12).

Example 5

Determine all extreme points for the curve \displaystyle y= x - x^{2/3}.

The derivative of the function is given by

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

From this expression, we see that \displaystyle y' is not defined for \displaystyle x = 0 (which \displaystyle y is however). This means that the function has a singular point at \displaystyle x=0.

The critical points for the function are given by

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

The only points for which the function might have extreme points are thus \displaystyle x=0 and \displaystyle x=\tfrac{8}{27}. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + ej def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

The curve has a local maximum at \displaystyle (0, 0) (a cusp) and a local minimum at \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x - x^⅔


Absolute min / max

A function has an absolute (or global) maximum (minimum) at a point if the value of the function is not greater (less) than any other point in the interval where the function is defined. This often is called the functions largest (least) value.


To determine a functions absolute max or min one must therefore find all the extreme points and calculate the values of the function at them. If the interval where the function is defined has endpoints, one must of course examine the function value at these points.


Note that an function may lack both an absolute max and an absolute min. Note also that a function can have several local extreme points without having a global max or min.

Example 6

1.3 - Figur - Två funktioner som saknar min och max resp. min

In the first figure the function has no global maximum nor global minimum. In the second figure the function has no global minimum.

In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of the function. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.

1.3 - Figur - Funktion med lokala och globala extrempunkter

The above function is only of interest in the interval \displaystyle a\le x \le e. We see that the minimum value of the function in this interval occurs at the critical point, \displaystyle x=b, while the maximim value is found at the endpoint \displaystyle x=e.


Example 7

Determine the maximum and minimum value of the function \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 in the interval \displaystyle -0{,}5 \le x \le 1\,.

We differentiate the function, \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3, and put the derivative equal to zero to obtain all the critical points

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

The point \displaystyle x = –1 is outside the interval where the function is defined and \displaystyle x = 1 lies on the interval where the function is defined at one endpoint. Since the function has no singular points (the function is is differentiable everywhere) the functions maximum and minimum must be at the intervals endpoints,

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

The functions maximum value in the given interval is thus \displaystyle 3{,}375. The minimum value is \displaystyle 0 (see the figure).

1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 3x + 2

The figure shows the function with the whole graph as a dotted curve , and with the part that is within the given interval as a continuous curve.


The second derivative

The sign of the derivative of a function gives us information about whether the function is increasing or decreasing. Similarly, the second order derivatives sign can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extreme point is a maximum or minimum.


If the function \displaystyle f(x) has a critical point at \displaystyle x=a where \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, then

  1. The derivative \displaystyle f^{\,\prime}(x) is strictly decreasing in some interval surrounding \displaystyle x=a.
  2. Since \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 then \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 to the left of \displaystyle x=a and \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 to the right of \displaystyle x=a.
  3. This means that the function \displaystyle f(x) has a local maximum at \displaystyle x=a.
1.3 - Figur - Tangenten till funktion med negativ andraderivata
If the derivative is positive to the left of x = a and negative to the right of x = a the function has a local maximum at x = a.


If the function \displaystyle f(x) has a critical point at \displaystyle x=a where \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, then

  1. The derivative \displaystyle f^{\,\prime}(x) is strictly increasing in some interval around \displaystyle x=a.
  2. Since \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 then \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 to the left of \displaystyle x=a and \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 to the right of \displaystyle x=a.
  3. This means that the function \displaystyle f(x) has a local minimum at \displaystyle x=a.
1.3 - Figur - Tangenten till funktion med positiv andraderivata
If the derivative is negative to the left of x = a and positive to the right of x = a the function has a local minimum at x = a.


If \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, no information can be deduced, but further investigation is required, for example by means of a table of signs.


Exempel 8

Determine all the extreme points for the function \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 and determine their character by using the second order derivative.

This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If the function has some extreme points they must therefore be found among the critical points. We thus differentiate the function, \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, and equate the derivative to zero

  1. REDIRECT Template:Abgesetzte Formel

The function has critical points at \displaystyle x = 1 and \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. By examining the sign of the second order derivative \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2 we can classify the extreme points for each critical point .

  • For \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} we have that \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0 and that means that \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} is a local maximum.
  • For \displaystyle x=1 we have that \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0 and that means that \displaystyle x=1 is a local maximum.
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/1.3_Maximierungs-_und_Minimierungsprobleme“