ZusatzStoffTUB

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 12:21, 2. Okt. 2009

Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des \displaystyle R^3

BESCHREIBUNG

C - (Standart-)Skalarprodukt im \displaystyle R^3 ("Punktprodukt")

Fuer \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} und \displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}:

\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>:= v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3=\vec{v} \cdot \vec{w}
\displaystyle <\vec{v},\vec{w}> \in R

(analog im \displaystyle R^2
\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2)

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Verknuefung von Winkel und Laenge ueber

\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}

Begruendung: Betrachte die Vektoren \displaystyle \vec{v},\vec{w}

BILD

\displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix} \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2} \displaystyle \cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} <bar>Dann ist \displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}

Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man die Vektoren so drehen kann, dass \displaystyle \vec{w} parallel zur x-Achse ist und \displaystyle \vec{v} in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.

Folgerungen

Fuer \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \ne 0 ist \displaystyle <\vec{v}, \vec{w}>=0 \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0\displaystyle \Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w} "\displaystyle \vec{v} orthogonal zu \displaystyle \vec{w}"

Fuer \displaystyle \vec{v}= \vec{w} ist \displaystyle <\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2 also \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} (vgl. \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2} in \displaystyle R^2, Pytagoras 3D)

Skalarprodukt: - bei gleicher Groesse Laenge - Winkelgroessen - Wissen wann Winkel senkrecht

Beispiel \displaystyle \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{||\vec{v}|| ||\vec{w}||} \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \displaystyle \cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669 \displaystyle \Rightarrow Winkel zwischen a,b : \displaystyle \angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}

Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Im \displaystyle R^3 definiere \displaystyle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}.

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w} \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w}

Bemerkungen und Beweise

zu 1.

\displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0

\displaystyle <\vec{u}, \vec{w}> ebenso

zu 2.

\displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w} \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}} ist der Flaecheninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}

BILD

zu 3. sparen

zu 4. aus (2) oder Def

zu 5. Def.

Bild

Beispiel fuer Kreuzprodukt

BILD

Ladung q mit Geschw. \displaystyle \vec{v} in Feld \displaystyle \vec{B} \displaystyle \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}

Spatprodukt

Fuer \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 setze

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}>. Ergebnis: Skalar \displaystyle ||\vec{} \times \vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \displaystyle ||\vec{} || ||\vec{} || ||\vec{} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b , \vec{c}}} \sin{\vec{a} , \vec{b}} \displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats.

Bild

Funktionen

bisher: \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) \displaystyle Wertebereich \rightarrow Bildbereich ("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...") ("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

nuetzlich: groessere Werte-/Bildbereiche.

Beispiele Raumkurven (als Funktion der Zeit)