Lösung 1.3:3c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}} | ||
| - | Also | + | Also hat die Funktion an der Stelle <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum. |
Aktuelle Version
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
- stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
- Randstellen.
Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass \displaystyle \ln x nur definiert ist, wenn \displaystyle x > 0. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1. |
Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn
| \displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.} |
Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, also ist
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,. |
Also hat die Funktion an der Stelle \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minimum.
