Lösung 1.3:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können | + | Da die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung |
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}} | ||
| Zeile 11: | Zeile 11: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Also hat die Gleichung einen stationären | + | Also hat die Gleichung einen stationären Stellen in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math> |
| - | Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter | + | Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen. |
Die zweite Ableitung ist | Die zweite Ableitung ist | ||
Version vom 11:30, 9. Sep. 2009
Da die Funktion für alle x definiert ist, können Extremstellen nur auftreten, wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5 |
und wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle 3e^{-3x} = 5 |
für die Nullstellen. Diese Gleichung hat die Lösung
| \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.} |
Also hat die Gleichung einen stationären Stellen in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}
Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter der stationären Stelle zu bestimmen.
Die zweite Ableitung ist
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x} |
und ist immer positiv, da die Exponentialfunktion immer positiv ist.
Insbesondere gilt
| \displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,, |
also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minimum.
