Lösung 3.3:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung | + | Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung |
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Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) <math>z-2=\pm i</math>, also <math>z=2+i</math> und <math>z=2-i</math>. | Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) <math>z-2=\pm i</math>, also <math>z=2+i</math> und <math>z=2-i</math>. | ||
| - | Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben | + | Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben. |
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&= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt] | &= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt] | ||
&= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt] | &= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt] | ||
| - | &=0 | + | &=0\\[10pt] |
z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5 | z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5 | ||
&= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt] | &= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt] | ||
&= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt] | &= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt] | ||
&= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt] | &= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt] | ||
| - | &= 0 | + | &= 0 |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Aktuelle Version
Eine quadratische Gleichung wie diese löst man durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle \begin{align}
(z-2)^2-2^2+5&=0,\\[5pt] (z-2)^2+1&=0. \end{align} |
Berechnen wir die Wurzel der rechten Seite, erhalten wir die Lösungen (Wurzeln) \displaystyle z-2=\pm i, also \displaystyle z=2+i und \displaystyle z=2-i.
Wir können diese Lösungen in der Gleichung substituieren, um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben.
\displaystyle \begin{align} z=2+i:\qquad z^2-4z+5 &= (2+i)^2-4(2+i)+5\\[5pt] &= 2^2+4i+i^2-8-4i+5\\[5pt] &= 4+4i-1-8-4i+5\\[5pt] &=0\\[10pt] z={}\rlap{2-i:}\phantom{2+i:}{}\qquad z^2-4z+5 &= (2-i)^2-4(2-i)+5\\[5pt] &= 2^2-4i+i^2-8+4i+5\\[5pt] &= 4-4i-1-8+4i+5\\[5pt] &= 0 \end{align}
