Lösung 2.3:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Ein | + | Ein erster Gedanke ist hier, dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für <math>\ln x</math> zu finden. Stattdessen integrieren wir <math>x</math> und leiten <math>\ln x</math> ab. |
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&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] | &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] | ||
&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] | &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] | ||
| - | &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C | + | &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Wie man die Faktoren wählt ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln. | + | Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln. |
Aktuelle Version
Ein erster Gedanke ist hier, dass wir \displaystyle x ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für \displaystyle \ln x zu finden. Stattdessen integrieren wir \displaystyle x und leiten \displaystyle \ln x ab.
| \displaystyle \begin{align}
\int x\cdot\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C \end{align} |
Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.
