Lösung 2.2:4c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}} | ||
| - | Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner | + | Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner |
{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.
| \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4} |
Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner
| \displaystyle \int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} |
und schreiben den quadratischen Term wie
| \displaystyle \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.} |
Machen wir die Substitution \displaystyle u = (x+2)/2, erhalten wir das erwünschte Integral
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x+2)/2\\[5pt] du &= dx/2 \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.} \end{align} |
