Lösung 3.1:4f
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung, | + | Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen |
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}} | ||
| Zeile 5: | Zeile 5: | ||
und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>. | und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>. | ||
| - | Die linke Seite der Gleichung | + | Die linke Seite der Gleichung wird dann |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| Zeile 14: | Zeile 14: | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | also ist die Gleichung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Die beiden Seiten sind gleich wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, | + | Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}} | ||
Aktuelle Version
Nachdem \displaystyle z und \displaystyle \bar{z} in der Gleichung sind, können wir \displaystyle z (oder \displaystyle \bar{z}) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
| \displaystyle z=x+iy |
und lösen die Gleichung für den Realteil \displaystyle x und den Imaginärteil \displaystyle y.
Die linke Seite der Gleichung wird dann
| \displaystyle \begin{align}
(1+i)(x-iy)+i(x+iy) &= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt] &= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt] &= x+(2x-y)i \end{align} |
also ist die Gleichung
| \displaystyle x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.} |
Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
| \displaystyle \left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right. |
Dies ergibt \displaystyle x=3 und \displaystyle y=2x-5=2\cdot 3-5=1. Also ist die Lösung der Gleichung \displaystyle z=3+i.
Dies überprüfen wir einfach, indem wir \displaystyle z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt] &= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt] &= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt] &= 3+5i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align} |
