Lösung 2.3:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
(Unterschied zwischen Versionen)
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Ein natürlicher erster Gedanke ist hier dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dies | + | Ein natürlicher erster Gedanke ist hier dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dies lässt uns aber mit dem Problem eine Stammfunktion für <math>\ln x</math> zu finden. Stattdessen integrieren wir <math>x</math> und leiten <math>\ln x</math> ab, |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Wie man die Faktoren wählt ist also sehr unterschiedlich | + | Wie man die Faktoren wählt ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln. |
Version vom 11:07, 22. Aug. 2009
Ein natürlicher erster Gedanke ist hier dass wir \displaystyle x ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dies lässt uns aber mit dem Problem eine Stammfunktion für \displaystyle \ln x zu finden. Stattdessen integrieren wir \displaystyle x und leiten \displaystyle \ln x ab,
| \displaystyle \begin{align}
\int x\cdot\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C\,\textrm{.} \end{align} |
Wie man die Faktoren wählt ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.
