Lösung 2.3:1a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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+			Lösung 2.3:1a
			
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 {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
  
- wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist. + wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
  
- Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass der Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos. + Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
  
 Im Integral  Im Integral
Version vom 10:58, 22. Aug. 2009
Die Formel für partielle Integration lautet





\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,


wo \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist und \displaystyle g'(x) die Ableitung von \displaystyle g(x) ist.
Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren \displaystyle f(x) und \displaystyle g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt \displaystyle F(x)g'(x) einfacher zu integrieren ist als \displaystyle f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
Im Integral





\displaystyle \int 2xe^{-x}\,dx\,,


ist es sinnvoll \displaystyle f(x)=e^{-x} und \displaystyle g(x) = 2x zu wählen, nachdem dann \displaystyle g'(x) = 2 und \displaystyle F(x) = -e^{-x}, deren Produkte wir einfach integrieren können. 





\displaystyle \begin{align}
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] 
&= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} 
\end{align}



Schließlich müssen wir nur noch das Integral \displaystyle e^{-x} berechnen,





\displaystyle \begin{align}
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] 
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] 
&= -2(x+1)e^{-x} + C\,\textrm{.} 
\end{align}




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 {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
-wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
+wo <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
-Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass der Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
+Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
 Im Integral
 \displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,
 \displaystyle \int 2xe^{-x}\,dx\,,
 \displaystyle \begin{align}
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] 
&= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] 
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] 
&= -2(x+1)e^{-x} + C\,\textrm{.} 
\end{align}